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1、2011届高考数学总复习直通车课件-平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有又有的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量.模.零向量长度为的向量,其方向是任意的记作.单位向量长度等于的向量常用表示平行向量方向或的非零向量与共线可记为.与任一向量.共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量与相等记作.相反向量长度且方向的向量与为相反的向量,则.(2)的相反向量为.大小方向01相同相反平行共线相等相反相等相同2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则
2、(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=.减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)
3、λa
4、=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=.λ(μa）=；(λ+μ)a=;λ(a+b)=.三角形平行四边形b+aa+(b+c)
5、λ
6、
7、a
8、相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb三角形（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC+FB=0，DE+AE=0，∴2EF=-CD-BA=AB+DC，即.方法
9、二：取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.∵E为AD的中点，∴∵F是BC的中点，∴.又举一反三2.如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使,DC与OA交于E;设试用a,b表示向量和向量.解析：∵A是BC的中点,∴OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则（其中A
10、可以是任意一点）.（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定理只有在AB∥CD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关系不一定成立（只有在AB与DC共线时成立）.【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理，得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直
11、线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB.又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强
12、调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.3.设两个非零向量不共线,已知,若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：若A、B、D三点共线,则AB∥BD,从而存在唯一实数λ,使AB=λBD，即∵不共线,∴举一反三即当k=-8时,A、B、D三点共线.题型四向量知识的综合应用分析运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.【例4】(12分)已知向量其中为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?解要使c∥d,则应存在实数k,使d=kc..............6′即∵不共线,∴∴λ=-2μ............
13、.................10′故存在这样的实数λ,μ,满足λ=-2μ,能使d与c共线............12′学后反思设不共线,若本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值.解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,即λ=3.【例】下列命题正确的是（）A.向量a与b共线，向量b
14、与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量A
