王忠仁信号与系统第三章周期信号的fourier级数表示.ppt

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1、(1)复指数函数作为线性时不变系统的特征函数(2)连续时间周期信号的傅里叶级数表示(3)计算傅里叶系数(4)CTFS的性质第3章周期信号的傅里叶级数表示3.1连续时间周期信号的傅里叶级数表示(CTFS)基信号的特性a.我们可以用这些基来构建一类信号;b.线性时不变系统对这些基信号的响应是非常简单的;以往的焦点：单位抽样信号和冲击现在的焦点：线性时不变系统的特征函数特征函数和它的特性（这里关注连续时间系统，但对离散时间系统也同样适用）特征值特征函数输入特征函数输出是带有增益的同一函数由线性时不变系统的叠加特性线性时不变系统现在确定线性时不变系统的响应即是确定复指数可作为任何线

2、性时不变系统的特征函数特征值特征函数特征值特征函数离散时间系统：什么样的信号可以表示为复指数的和？这里关注限定的复指数连续时间系统：例如：离散时间系统：例如：幅值1连续与离散周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换连续周期信号的傅里叶级数表示这里最小的T是基本周期是基本频率以T为周期的周期函数以T为周期的周期函数是傅里叶级数的系数k=0直流k=±1一次谐波k=±2二次谐波问题1：我们怎样得到傅里叶系数？首先，简单周期信号由几个正弦项组成例如：公式（欧拉定理）无直流分量…对于实周期信号，傅里叶级数还有其他两种常用的形式或者由于的特征函数性质，我们通常使用复指数形式这样做的结果是，我们

3、需要包括正负两个频率项注意现在对问题一给出完整答案假设（给出如何找出）1）乘以2）在一个周期内积分1）乘以2）在一个周期内积分这里表示积分任意长度为T（一个周期）的积分区间然后注意到：连续时间周期信号的Fourier级数其中例如：周期性方波当k=0当k≠0周期性方波当k=0当k≠0于是连续时间傅里叶级数对直接记住，将来跳过此运算过程另一个例子（重要！）：周期脉冲序列——采样公式，对于采样很重要对于所有k均成立！——所有的成分均含有：(1)相同的振幅；(2)相同的相位。连续时间傅里叶级数的几个性质线性共轭对称性x(t)是实数或者说时移性引入一个线性相移∝例子：移动半个周期注意

4、:帕塞瓦尔定理无论在时间域还是频率域能量也具有相同的关系乘积性质（无论x(t),y(t)均以T为周期）证明：周期卷积x(t),y(t)均以T为周期—并不十分有意义例如：假设x(t),y(t)均为正数，则周期卷积周期卷积：可以在任意一个周期上求积分（如-T/2—T/2）当周期卷积实质1）Z(t)是以T为周期的对于LTI系统在卷积中，把y(t)当做输入，当做h(t)。2）我们可以选任意周期做积分：3）时间域周期卷积频率域乘法！x[n]—以N为基本周期，基频仅仅以N为周期的会出现在FS中仅有这种形式的N个离散信号因此我们仅能够使用3.2离散时间周期信号的傅里叶级数表示(DTFS)

5、离散时间傅里叶级数表示对于任意N，连续的k值的和—这是有限级数—傅里叶（级数）系数问题：1）什么样的离散时间周期信号有如此表示方式？2）我们怎样找到？回答问题#1任何一个离散时间周期信号都有一个傅里叶级数表示。...N个方程为了求N个未知数：一个更直接的方法来求解有限几何级数因此，由两边均乘以然后离散时间傅里叶级数对把看作是在所有整数K上被定义是方便的，因此：1）—离散时间傅里叶系数的特殊性质；2）在综合方程中我们仅仅使用N个连续的值（x[n]是周期的，无论时间域还是频率域它均被N个数指定）。例#1：一对正弦曲线求和—以N=16为周期例#2：离散时间方波例#2：离散时间方波

6、离散时间傅里叶级数的收敛问题：不是一个问题，因为所有的级数都是一个有限的和。离散时间傅里叶级数的性质：很多，与连续时间傅里叶级数一样。例如：习题:例3.3,例3.4,例3.5,例3.6,例3.7,例3.8,例3.9;例3.10,例3.11,例3.12,例3.13,例3.14[再讲]周期序列的傅立叶级数（DFS-DiscreteFourierSeries）周期序列的另一种写法:一个周期为N的周期序列　　，对于所有n满足式中N为正整数。定义n=0到N-1的周期区间为　　的主值区间，而主值区间内的N个样本值组成的有限长序列称为　　的主值序列，即这一过程称为取主值序列。对于一个有

7、限长序列如将其以N为周期进行周期性延拓，得到周期序列。正变换(分析式)：反变换（综合式）：DFS的另一种写法:３.３离散傅立叶级数的性质假定　　和　　是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为１、线性式中　为任意常数，可见由两个离散周期序列和　　线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。２、移位特性时域移位频域移位如果≥N,那么证明：３、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列　　和　　，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即m的取值由0～（N-1），因此称为周期卷积。05n000000555