最新差分方程求解ppt课件.ppt

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1、差分方程求解一、差分微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义1设函数y=f(x),记为yx,则差yx+1yx称为函数yx的一阶差分,记为yx,即yx=yx+1yx.(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)=yx+22yx+1+yx为二阶差分,记为2yx,即3yx=(

2、2yx),同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即4yx=(3yx).2yx=(yx)=yx+22yx+1+yx定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.其一般形式为G(x,yx,yx+1,,yx+n)=0.(2)定义3中要求x,yx,yx+1,,yx+n不少于两个.例如,yx+2+yx+1=0为差分方程,yx=x不是差分方程.差分方程式(2)中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数

3、为该差分方程的解.例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.解yx+1=2(x+1)+1=2x+3,yx+1yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.定义5差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通解.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yx+1ayx=f(x).(3)其中a为不等于零的常数.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即

4、yx+1ayx=0(4)先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解设y0已知,代入方程可知y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为yx=Cax.(5)例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.解这里a=2,由公式(5)得,通解为yx=C(2)x.定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程yx+1ayx=f(x)解的结构是(3)的一个特解,则程(3)的通解.是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(

5、1)令f(x)=b0+b1x++bmxm设特解的待定式为或(6)(7)其中B0,B1,,Bm为待定系数.例5求差分方程yx+12yx=3x2的一个特解.解这里a=2,设代入差分方程,得B0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得(B0+B1+B2)+(B1+2B2)xB2x2=3x2.比较系数,得B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为例6求差分方程yx+1yx=x+1的通

6、解.解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为这里a=1,设(x+1)[B0+B1(x+1)]x(B0+B1x)=x+1.整理,得2B1x+B0+B1=x+1.比较系数,得2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解为代入差分方程,得(2)f(x)=Cbx设特解的待定式为或(8)(9)其中k为待定系数.例7求差分方程的通解.解对应的齐次方程的通解为因为故可设特解为则解出则所求通解为四、二阶常系数线性差分方程形如yx+2+ayx+1+byx=f(x).(10)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶

7、常系数线性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+2+ayx+1+byx=0(11)类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程(11)的通解.当为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx=x为方程(11)的解.代如方程(11)得x+2+ax+1+bx=0,方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解两个不相等的实根1,2一对共轭复根1,2=i两个相等实根1=2

8、x+2+ax+1+bx=0的通解2+a+b=0,(12)由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：例8求差分方程yx+27yx+1+6yx=0的通解.解特征方程为方程的根为1=1,2=6.27+6=0.原方程的通解为yx=C1+C26x.例9求差分方程yx+24yx+1+16yx=0满足条件y0=0,y1=1的特解.解特征方程为方程的根为24+16=0.原方程的通解为代入初始条件y0=0,y1=1得解出故所求特