2021届高考数学解答题挑战满分专项4.6 导数（理）（解析版）.docx

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1、2021届高考数学（理）解答题挑战满分专项专题4.6导数1．已知函数，为的导函数．（1）当时，①求曲线在点处的切线方程；②求函数的单调区间和极值；（2）当时，求证：对任意的，且，有．【试题来源】2020年天津市高考数学试卷【答案】（1）①；②的极小值为，无极大值；（2）证明见解析．【解析】（1）①当k=6时，，．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．②依题意，．从而可得，整理可得，令，解得．当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g（1）

2、=1，无极大值．（2）证明：由，得．对任意的，且，令，则．①令．当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即．因为，，，所以．②由（1）（2）可知，当时，，即，故③由①②③可得．所以，当时，任意的，且，有．2．已知函数．（1）求曲线的斜率等于的切线方程；（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【试题来源】2020年北京市高考数学试卷【答案】（1），（2）．【解析】（1）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为，即．（2）显然，因为在点处的切线方程为，令，得，令，得，所以，不妨设时，结

3、果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为．3．已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷）【答案】（1）（2）【解析】（1），，．，所以切点坐标为(1，1+e)，所以函数f(x)在点(1，f（1）处的切线方程为，即，切线与坐标轴交点坐标分别为，所以所求三角形面积为；（2）解法一：，，且．设，则所以g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，，所以，所以成立．

4、当时，，，，所以存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1，所以所以恒成立；当时，所以不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞)．解法二：等价于，令，上述不等式等价于，显然为单调增函数，所以又等价于，即，令，则在上h’(x)>0，h(x)单调递增；在(1，+∞)上h’(x)<0，h(x)单调递减，所以，，所以a的取值范围是[1，+∞)．4．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）【答案】（1

5、）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，由题意，，即，则；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或．当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，

6、求的取值范围．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由题，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，有三个零点，则，且即，解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理，，所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为．6．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）【答案】（1）的减区间为，

7、增区间为；（2）．【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是．7．已知函数．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围．【试题来源】2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增．（2）【解析】（1）当时，，，由于，故单调

8、递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增．（2）由得，，其中，①．当x=0时，不等式为，显然成立，符合题意；②．当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调