2016新课标创新人教A版数学选修4-4 2.4 渐开线与摆线.doc

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1、文档[核心必知]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：(φ为参数)．[问题思考]1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？14/14文档提示：字母r是

2、指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[精讲详析]　本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故

3、OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则

4、AM

5、＝＝4θ作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝(4cosθ，4sinθ)，14/14文档由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又＝(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到

6、用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．(2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．14/14文档1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：这就是所求的圆的渐开线的参数方程．

7、　求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[精讲详析]　本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)．向量＝(2α，2)，14/14文档向量＝(2sinα，2cosα)，＝(－2sin

8、α，－2cosα)，＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)．所以这就是所求摆线的参数方程．2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解：xM＝r·θ－r·cos[(φ＋θ)－]＝r[θ－sin(φ＋θ)]，yM＝r＋r·sin(φ＋θ－)14/14文档＝r[1－cos(φ＋θ)]．∴点M的参数方程为(θ为参数)　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开

9、始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．[精讲详析]　本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．轨迹曲线的参数方程为(0≤t≤2π)即t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.曲线的对称轴为x＝8π.摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．14/14文档3．当φ＝、π时，求出渐开线上对

10、应的点A、B，并求出A、B间的距离．解：将φ＝代入得x＝cos＋·sin＝0＋＝，y＝sin－·cos＝1.∴A(，1)．将φ＝π，代入得x＝cosπ＋π·sinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.∴B(－1，π)．∴

11、AB

12、＝＝.本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几年的高考题中还未出现过．本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题．[考题印证]14/14文档摆线(0≤t≤2π)与直线y＝1的交点的直角坐标为________．