渐开线与摆线 课件(人教a选修4-4)

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1、[读教材·填要点]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的，相应的定圆叫做渐开线的．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个的轨迹，圆的摆线又叫．渐开线基圆定点旋轮线[小问题·大思维]1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：

2、字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．[悟一法]解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．(2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．[研一题][例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取

3、圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[精讲详析]本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.[悟一法](1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹．(2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定．[通一类]2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．[研一

4、题][例3]设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．[精讲详析]本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．[悟一法]摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．点击进入创新演练大冲关