2021年新高考数学解答题满分专练4.1 解三角形（解析版）.docx

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1、专题4.1解三角形1．（2020·海南高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a，b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解．解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值

2、，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解．【解析】解法一：由可得，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得，，此时．选择条件②的解析：据此可得，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：因为，所以，，所以，所以，所以，所以，若选①，，因为，所以，所以c=1；若选②，，则，；若选③，与条件矛盾．【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余

3、弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．2．（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果．【解析】（1）即，由正弦定理可得，，，；（2），由正弦定理得又，整理可得解得或因为所以，故．（2）法

4、二：，由正弦定理得又，整理可得，即由，所以．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系．3．（2018·全国高考真题（理））在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理

5、得到所满足的关系，从而求得结果．【解析】（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以；（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果．4．（2018·天津高考真题（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）设

6、a=2，c=3，求b和的值．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（2）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．因为，可得B=．（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a

7、正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．5．（2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（1）求∠A；（2）求AC边上的高．【答案】（1）∠A=（2）AC边上的高为【分析】（1）先根据平方关系求，再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．【解析】（1）在△ABC中，因为cosB=–，所以B∈（，π），所以sinB=

8、．由正弦定理得=，所以sinA=．因为B∈（，π），所以A∈（0，），所以∠A=．（2）在△ABC中，因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如图所示，在△ABC中，因为sinC=，所以h==，所以AC边上的高为．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．6．（2019·全国高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形