2021年新高考数学解答题满分专练4.5 圆锥曲线（Word解析版）.docx

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1、专题4.5圆锥曲线1．已知椭圆C：过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷）【答案】（1）；（2）18．【解析】（1）由题意可知直线AM的方程为，即．当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12．所以C的方程：．（2）设与直线AM平行的直线方程为，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．联立直线方程与椭圆方程，可得，化简可得，所以，即m2=64，解得

2、m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得，由两点之间距离公式可得．所以△AMN的面积的最大值：．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的

3、中点．求直线的方程．【试题来源】2020年天津市高考数学试卷【答案】（1）；（2），或．【分析】（1）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（2）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解．【解析】（1）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（2）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或．将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为

4、，所以，直线的斜率为，因为，所以，整理得，解得或．所以，直线的方程为或．【名师点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程．3．已知椭圆过点，且．（1）求椭圆C的方程：（2）过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求的值．【试题来源】2020年北京市高考数学试卷【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直

5、线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合根与系数关系可证得，从而可得两线段长度的比值．【解析】（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得，故椭圆方程为．（2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立可得，即，则．直线MA的方程为，令可得，同理可得．很明显，且：，注意到：，而：，故．从而．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面

6、积等问题．4．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（1）若，求抛物线的焦点坐标；（2）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【试题来源】2020年浙江省高考数学试卷【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（2）设，由，，由在抛物线上，所以，又，，，．由即，所以，，，所以，的最大值为，此时．法2：设直线，．将直线的方程代入椭圆得，所以点的纵坐标为．将直线的方程代入抛物线得，所以，解得，因此，由解得，所以当时，取到最大值为．5．已知椭圆C

7、：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【试题来源】2020年山东省高考数学试卷（新高考全国Ⅰ卷）【答案】（1）；（2）详见解析．【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置．【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆方程为．（2）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程消去并整理得

8、，可得，，因为，所以，即，根据，代入整