第1讲基本不等式与线性规划.doc

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1、专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划【考情分析】年份试题知识点备注2012第12、17题一元二次不等式、基本不等式结合一元二次不等式求参数范围、利用基本不等式求最值2013第9、11、13题线性规划、一元二次不等式、基本不等式求式子的最值、解一元二次不等式、利用基本不等式求最值2014第19题不等式与恒成立问题，导数与函数的单调性结合基本不等式求函数的值域，从而解决恒成立问题江苏高考中本部分内容较少以独立的形式进行考查，往往结合其他知识点一并考查。主要考查形式为用基本不等式求解最值或在代数综合问题中处理恒成

2、立问题，线性规划问题也时有考查，但有时会突破传统的平面区域问题，以圆或抛物线等作为区域的边界部分．利用基本不等式求解与其他知识的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。在求解线性规划最优解、最值问题时，可通过作图，用数形结合的方法解题，多数情况下可用特殊位置法进行求解。【真题呈现】1．（2014高考北京卷）若、满足，且的最小值为，则的值为【答案】【解析】若，则的最小值为，不合题意。若，则不等式表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，，解得。2．（2014

3、高考上海卷）若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立。3．（2013天津卷）设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，

4、a

5、>0，所以＋≥2＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.4．（2013山东卷）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为。【答

6、案】1【解析】z＝x2－3xy＋4y2(x＞0，y＞0，z＞0)，所以＝＝≤＝1.当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋＝－2＋1，所以当y＝1时，＋－的最大值为1.5．（2013陕西卷）若点(x，y)位于曲线y＝

7、x－1

8、与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．【答案】－4【解析】如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x－y＝0，并向左上平移，过点A时，2x－y最小，由得A(－1,2)，所以(2x－y)min＝

9、2×(－1)－2＝－4.【自主学习回归教材】1.（必修5P88例2改编）若，则的最小值为．【答案】．【解析】所以，，所以，.2.（必修5P90习题6改编）设x，y满足则z=x+y的最小值是．【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图所示.由z＝x＋y，得y＝－x＋z.令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2，0）时，z取得最小值，最小值为z＝2.3．（必修5P91习题3改编）函数的最小值为．【答案】【解析】，当不成立，故取不到最小值；设，易知在上是增函数，即，即时，．4.（必修5P94第1

10、3题改编)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为．【答案】4【解析】，所以，，所以，.5.（必修5第4题改编）若实数满足，则的最小值为.【答案】【解析】画出图象可知最小值为原点到直线的距离为.要点导学各个击破分类解析目标1运用基本不等式求最值例1（2014苏州期末）已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为．【分析】要求x+y的最小值，一种方式是转化为一个变量的代数式，然后变形成积为定值的形式，二是将已知式中变形成积的定值，然后将所求式进行构造，利用基本不等式求解。【解析】解法1由得y＝＝－2＋，所以

11、x+y＝x+1＋－3≥2－3＝2－3.即x+y的最小值为2－3.解法2由得(x＋1)(y＋2)＝6，由基本不等式得(x＋1)＋(y＋2)≥2＝2，所以x+y≥2－3.即x+y的最小值为2－3.【点评】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．【变式1】已知，

12、，则的最小值为．【答案】18【解析】法一：因为，，所以，，因为，，所以，，又，所以，，所以，，当时取等号．法二：由题知，则．【变式2】已知，若实数满足，则的最小值是．【答案】7【解析】法一：由，得，则，所以，（当且仅当“”时，取等号），故的最小值为7法二：，，当且仅当时取等号．目标2：线性规划中的最值问题例2（2014常州期末）已知实数，满足约束条件则的最大值为．【分析】要求的最大值，即求的最小值，