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1、数列求和方法选讲-CAL-FENGHAL-(YICAI)-CompanyOne14数列求和常用方法选讲教学口标：会用求和的一般方法：并项求和、分组求和、裂项求和、错位相减法教学重点难点：求和一般办法的应用。课时安排：两个课时典例解析第一课时：题型仁公式法例1•若数列{©}满足：a】=1,an+1=2alt,ne,则a}+a2+--a„=变式练习：已知数列｛©｝满足：q=l,an^=an+3,ne贝lJq+勺+・・•％=题型2：并项求和例：L・求数列「3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前川项和。解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数
2、列的前"项中共有1+2+3+…+n=也二U个奇2数，即此奇数列共有巴日项，末项为1+[^li-l].2=/?+n-l22n(n+1)2(1+7?2+H-1)4题型3：分组求和例2、求和S”=l+ll+lll+…+氏」”个分析：勺=£(10"-1),答案:r10n+,-9/1-105=”81例父求数列1,3+'11I-11-3"n1解析：其和为(1+3++3n)+(-+—++—)=—^—+—-—=—(3n3'n)o33。?222第二课时题型4：裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+l)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项，这种
3、先裂后消的求和法叫裂项求和法。例4.求1+丄+—i—+)+…+!.(iteN")o1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+/i解析:1_21+2+…十kk{k+1)・・・Sn=2[丄+-L+・・・+—!—]n1-22-3n(n+l)4L1)‘111--,+——2丿23丿2nn+点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。练习：1、已知数列｛〜｝的通项公式为山=—-—,求数列仏｝的前〃项和二n(n+2)n12、已知数列｛y｝为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,求和：V—伺4伽"1n111:首先考虑乞—=y4(—冋勺©+1<
4、=1d勺点评：已知数列｛心｝为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,下列求和也可用裂项求和法。例5、求数列1?2+11V3+V2…的前〃项和。分析：利用分母有理化进行裂项:常用的裂项技巧：1、丄丄丄n｛n+1)nn+111A1、2、=—(——)n(n+2)2nn+2—==__尸=+£_fn)yjn+k+y/nK3、]n(n+k)裂项法使用时要注意哪些项抵消，哪些项保留，其最终的L1的就是正负项抵消。题型5：错位相减法例3、求数列｛〜｝的通项公式为“”=小2",求数列｛"”｝的前"项和S”例4.设a为常数，求数列a,2a293cr,•••,nan
5、,…的前〃项和。解析：①若a=0时tSn=0；②若a=l,则Sn=l+2+3+•••+n=丄n(n—1)；2③若a7^1,aHO时，Sn-aSn=a(l+a+e*>+an'1-nan),4Sn=—[l-(n+l)an+nan+l]□(l-a)・例5.已知">0,oHl,数列仏｝是首项为a,公比也为a的等比数列，令bn=an-lgan(neN),求数列｛b„｝的前n项和Sn。解析：■/a„=cibn=n•a11lga,/.S”=(a+2a2+3(c+…+na")lg«①aSlt=(a2+2a3+3/+…+fuin+l)lga②①-②得：(l_a)
6、S”=(a+a24a'!-a,■■-S”=•:临？[1-(1+"-na)a"]t点评：设数列｛“”｝的等比数列，数列｛饥｝是等差数列，则数列尙®｝的前"项和S”求解，均可用错位相减法。小结：1.数列求和的常用方法(1)公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；(2)裂项相消法：适用于1‘其中｛心｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；(3)错位相减法：适用于匕九｝其中｛«„｝是等差数列，仇｝是各项不为0的等比数列。(4)倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.(5)分组求和法4
