2021届新课改地区高三数学专题复习第29讲 平面向量的概念与线性运算（解析版）.docx

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1、第29讲：平面向量的概念与线性运算一、课程标准1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.二、基础知识回顾知识梳理1.向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、．(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；②当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0．(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋

9、b)＝λa＋λb．3.向量共线定理：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，15/15那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．一、自主热身、归纳总结1、在下列结论中，正确的是()A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若a和b都是单位向量，则a＝bD.两个相等向量的模相等【答案】D【解析】　由平面向量的基本概念可得，D是正确的．2、对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

10、也不必要条件【答案】A【解析】　若a＋b＝0，则a＝－b，∴a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝()A.1　B.2　C.4　D.－1【答案】A【解析】　∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴＝λ，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得解得t＝1.故选A.4、（2019秋•如皋市期末）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是　　A．B．C．D．【答案】．【解析】由题意可得，，故正确；，故正确；，故错误；1

11、5/15，故正确．故选：．5、在△ABC中，＝＝，则∠BAC＝_____．【答案】60°【解析】　∵＝，∴＝＝，得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.6、已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【答案】B【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．一、例题选讲考点一、平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：①若

12、a

13、＝

14、b

15、，

16、则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

17、a

18、＝

19、b

20、且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵＝，∴

21、

22、＝

23、

24、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

25、

26、＝

27、

28、，∥且，方向相同，因此＝.15/15③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c

29、的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，即使

30、a

31、＝

32、b

33、，也不能得到a＝b，故

34、a

35、＝

36、b

37、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.变式1、设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝

38、a

39、·a0；②若a与a0平行，则a＝

40、a

41、a0；③若a与a0平行且

42、a

43、＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3【答案】D　【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与

44、a

45、a0的模相同，但方向不一定相同，

46、故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

47、a

48、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.变式2、给出下列命题：①两个具