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1、线性代数行列式经典例题例1计算元素为aj=
2、i—j
3、的n阶行列式.解方法1由题设知，a[i=0,ai2=1,
4、
5、
6、,ain=n_1JH,故1IIIn-101HIn-10IIIn-2ri-r工1-1III-1*i=S,n，，附,2+b*，-2III011III-1n-1cjcnj4,i'
7、,n1n川IIIn-1-2IIIIII-1"<…=(-1)n/2n/(n-1)0-20川0-1n列.01HIn-1-11III10川n-2rT-1-1川♦d++i型
8、
9、i,n」+1+,n-1n—2
10、
11、
12、0n—1n—2
13、
14、
15、其中第一步用的是从最后一行起，逐行减
16、前一行.第二步用的每列加第方法2Dn1100-10IIIcd-1-2川+ij=2M
17、n,+++rn—12n—3IIIn-1_n-2.二(T)2(n-1)例2.设a,b,c是互异的实数，证明：111abc=0/按/的充要条件是a+b+c=0.证明：考察范德蒙行列式精品资料1111精品资料beyb21//?/所以的充要条件是a+b+c=0.例3计算DIIIIII解：方法1Dn=xDn4+an」an工HIxai递推法按第列展开，有-1x-1=xDn」+anx-1n-1由于D1=x+a1,D2a2xa1是Dn=xDnq+an=x(xDnq+an」)
18、+an=x2Dn^+=(a-i)(di-G。-a)(a-y)(b-y)(c-y)=一;一,；一「：.一I.111abc行列式K炉「即为y2前的系数.于是111abc=炉1=年一颜白Y地一c)Q+b+c)n-4n-2n._n-1,an4x+an=■■-=xD1+a2x+…+an4x+an=xa1x11
19、an」xan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，…，第n列的xn’倍分别加到第1列上精品资料0-10IM02qgxx-1IH0Dn=00xH
20、0anxandandIHxai-1IHC
21、X2C3IH-1IHanxanj2xanNan」Inan」I
22、Hxa
23、0-1x-1■■Ifxn-a1xnl-HI-amxan方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.按「n展开=(-1严f-1x-1xDnc-qxc/cc3—c2x00III00x0III000xIII0lilcnci1x一ananandx..an.2xIIIknkn=xn，an4n-2a2、+——+a1+x)精品资料精品资料0III0-1III0=an-an」xHIa1xnJxn—1按「n展开方法4Dn=(廿为〉00IIIx-1精品资料x0HI00x-1HI000-1HI00//2n10xH
24、00_1A■・■+…+(-1)-a2，・
25、il■+ih1-*iTk+ir++1+F00HIx-100HI0-1(-1)n2an+(-1)2n(a1-x)IIIIIIIIIn-11）田（_1）Tan」X(—1)2n,(—1)a22nn1+(―1)(a1+x)x精品资料精品资料,,nJnanamx-IIIa〔x一x例4.计算n阶行列式:a2Dnaia2b2IIIIIIanan(bblHbn=0)aia2IIIanbn解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素ai,a2,l11,an,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列,适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化精品资
26、料精品资料简后出现大量的零元素.升阶aia!a2Dnj=2,i'l,n1bia2b1情情IIIIIIa1b10ananananbna2in11Irn1-rian-1-1b2IIIIIIIIIbna2anb10IIIIIIbn包HIbi■包)bn精品资料精品资料这个题的特殊情形是精品资料a1xa2Dn可作为公式记下来.例5.解方法1Dnaiai计算nDna2xa2IIIIIIIIIanan」(xn十£iJajan+x阶“三对角”行列式递推法.按c〔展开（二按r1展开即有递推关系式递推得到由递推公式得0otPa+PIIIIIIIIIIIIOtp
27、00III001a+PaPIII00■f1+,■,i*ri*■■RV000III1a+Pn-1（n」）(久十P)Dn二—aPDn」Dn=(a+p)Dn」—aPDn_2(n-3)DnDn-肛工=P(DniDm)-«Dn^=P(Dn^-«Dn^)="(Dn/-：Dn.)n-2,,(D2,工D1)=a2+aP+P2,代入得Dn—aDn」Dn=二Dn「nDn=aDnJPn=u(aDn/p2)+Pn“2Dnl+aP^+Pn(2.1)精品资料伊寸P0(?1"一01+9+I♦■00000HI0
28、1
29、0：1110ri卜T，10III0m10P010c坪工r
30、=0Ki=2,1
31、l,n■OtP+卜0aP00III00P0III001PIII00■1■F■.00HI1pnn1n1:n=a+ot-pH+ap-十户方法2把Dn按第1列拆成2个
