最新Wigner分布上课讲义.ppt

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1、3.1Wigner分布的定义时－频分布分类线性形式的时－频分布：STFT、Gabor变换及小波变换。双线性形式时－频分布:是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。又称非线性时－频分布。Wigner分布及Cohen类分布。联合Wigner分布定义令信号　，的傅立叶变换分别是　　，　　，那么　，　的联合Wigner分布定义为：（3.1.1）信号的自Wigner分布定义为：（3.1.2）Wigner分布又称Wigner－Ville分布，简称为WVD。若令，则，代入（3.1.1）有（3.1.3）令

2、，则式（3.1.1）可变为：令，则上式变为（3.1.4）对自WVD，有（3.1.5）显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。若令则（3.1.6）显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此处的并不是我们以前定义过的相关函数。在时－频分析中，我们称为瞬时自相关。3．2　WVD的性质的奇、偶、虚、实性不论是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和的实函数，即（3.2.1）若为实信号，则不但是t、的实函数，还是的偶函数，即（3.2.2）对，的互WVD，不一定是实函数，但具有如下性质：(3.2.3)WVD的

3、能量分布性质时间边缘（timemarginal）性质令（3．1．1）式两边对积分，有(3.2.4)该式表明，信号x(t)的WVD沿频率轴的积分等于该信号在时刻的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。频率边缘性质同理，令（3.1.5）式两边同时对积分，有(3.2.5)即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)即，在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而在整个平面上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知，在平面上某一

4、点的值并不能反映信号的能量，这是因为有可能取负值。由WVD重建信号由（3.1.1）式，我们有令这一特定时刻，有于是（3.2.9）若含有常数的相位因子，如，由于因此由WVD恢复出的将不会有此相位因子。WVD的运算性质移位——WVD的移不变性令则　　　　　　　　　　（3.2.10）调制——频率调制不变性令则　　　　　　　　　（3.2.11）移位加调制令则（3.2.12）时间尺度令（为大于零的常数）则（3.2.13）信号的相乘令则(2.3.14)即两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率轴上的卷积。这是WVD

5、的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。信号的滤波令则（3.2.15）信号的相加令　　　，则（3.2.16）即两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和式中是和的互WVD，称之为“交叉项”，它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。进一步，若令，则后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些分量之间共产生个互项的干扰。WVD的时限与带限性质若在和时，，即是时限的，则对一切，有（3.2.18）由上述结论，若，均是因果信号，及当时，那么（3.2.1

6、9）若当和时，，即是带限的，则对一切的t，有（3.2.20）解析信号的自WVD令是的Hilbert变换，则是的解析信号。由Hilbert变换的性质可知：（3.2.21）由WVD的带限性质可知，当时，，并有（3.2.22）将式（3.2.21）代入得：（3.2.23）上式积分号中相当于乘了一个从至的矩形窗。由运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t)的WVD之间的关系，即（3.2.24）设信号可写成解析形式，即，其WVD为，则的瞬时频率和WVD有如下关系：（3.2.25）群延迟和WVD的关系：（3.2.26）瞬

7、时频率与群延迟WVD的Parseval关系令和的WVD分别是和，则该式又称为Moyal’s公式。两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和；由于WVD是信号能量随时间－频率的分布，因此，理论上讲，应始终为正值，但实际上并非如此。因为是的傅立叶变换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证非负。WVD的缺点３.３常用信号的WVD几种典型信号的WVD例3.3.1、令（3.3.1）求。解：确定对的积分限，由得或所以（3.3.2）在时间轴上只在的范围内有值，在频率轴上是的函数。最大值

8、出现在处，最大值图3.3.1　例3.3.1的WVD例3.3.2　令，求。解：由定义即（3.3.3）本例的为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间无关。对任意的时间，都是位于处的函数。如图3.3.2所示。图3.3.2　例3.3.2的WVD例3.3.3　令是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即式中，，。为某一基本频率。图3.3