【课时10】基本不等式(一).docx

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1、精品资源课题：基本不等式（1）课时编号：S05-03-10教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。教学过程一.问题情境1.情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放祛码使天平平衡，称得物体的质量为a,如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为bo2.问题：如何合理地表示物体的质量呢？二.学

2、生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为l1,l2,物体的质量为M,则11M=l2a,①12M=11b,②，①，②相乘在除以吊2,得M=庙（3）H也与jab哪个大？2三.建构数学ab一1,算术平均数与几何平均数：设a,b为正数，则a-b称为a,b的算木平均数，JOB称为a,b的几何2平均数。2.用具体数据验证得：基本不等式：、、ab三型（a_0,b_0）2即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。下面给出证明：证法1：a-b-.ab=1[（.a）2（、,b）2-

3、2a.b]=1（、、a-Nb）2-0222当且仅当Ja=Jb即a=b时，取“=”。欢迎下载精品资源证法2：要证jab0,b>0（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）DD」AB,则CD2=CACB=ab,从而C

4、D=Jab,而半径a^b2CD=Jab2（4）当且仅当a=b时，取的含义：一方面是当a—b=46—；另一方面是仅当a-b时耳2Jab一口a-b。2（5）如果a,bwR,那么a2+b2至2ab（当且仅1四.数学运用1.例题：例1.设a,b为正数，证明下列不等式成立：（1）b+a之2；（2）a+-之2ababa证明：（1）•••a,b为正数，，b,a也为正数，由基ab，原不等式成立。1-11（2）•••a,-均为正数，由基本不等式得a十一至2aa例2.已知a,b,c为两两/、相等的实数，求证：a2A'aCbBa=b时取等号，即（图1）D攵等号，即3a=b时

5、取J"）.；本不等式得b,旦_2、ba=2abab1eya■—=2,，原不寺式成乂。b2c2abbcca（3）a^b之局的几何解释：（如图1）以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C,过C作弦欢迎下载精品资源证明：a,b,c为两两不相等的实数，a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2〉2ca,以上三式相加：2(a2b2c2).2ab2bc2ca所以，a2+b2+c2>ab+bc+ca.例3.已知a,b,c,d都是正数，求证(ab+cd)(ac+bd)至4abcd.证明：由a,b,c,d都是正数，得：abcd2>Jabcd>0,acbd2>Ja

6、cbd>0,(abcd)(acbd)>abcd,欢迎下载精品资源欢迎下载精品资源即(ab+cd)(ac+bd)"abcd.……x24例4.求证：>2x23证明：:Jx2+3>0,又x2+3*1,22._x2_4_(x23)1,x23、x23,欢迎下载精品资源欢迎下载精品资源2.练习：1.给出下列结论：(1)若x>0,y>0,则lgx+lgy-2jlgx1gy(2)若x>0,贝U——十cosx22.1---cosx=2cosx■cosx(3)若x<0,则x+4<-2jx4=^x.x(4)若x<0,则2x+2T>2之2y=2其中正确的有2.课本P9o1,2

7、五.回顾小结：欢迎下载精品资源1.算术平均数与几何平均数的概念；2.基本不等式及其应用条件；3.不等式证明的三种常用方法。六.课外作业：P9o3P931,2,3,5补充：1.已知a,b,c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)28abc；2.已知x,y都是正数，求证：(x+y)(x2+y2)(x3+y3)主8x3y3.第97页复习题第12题.欢迎下载