2021_2022学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3第1课时一元二次不等式的解法学案新人教A版必修第一册.doc

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1、优选第2章一元二次函数、方程和不等式2.3　二次函数与一元二次方程、不等式第1课时　一元二次不等式的解法学习任务核心素养1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点)2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)3．理解三个“二次”之间的关系．(重点)1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养．2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养.已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0.问题：(1)试写出一元二

2、次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)一元二次方程的根是什么？(3)问题1中的交点横坐标与问题2中的根有何内在联系？(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？(5)能否利用问题4得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？知识点1　一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？10/10优选[提示]可以．1.已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②

3、x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0.其中一元二次不等式的个数为(　　)A．1　B．2　　　C．3　D．4A[只有③是一元二次不等式，故选A.]知识点2　二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？[提示]不是．是图象与x轴交点的横坐标．2.函数y＝x2－2x－3的零点为________．－1或3[由y＝0得x2－2x－3＝0，即x＝－1或x＝3.即函数的零点为－1或3.]知识点3　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对

4、应关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

5、xx2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

6、x10，则x满足的条件是________；(2)若y≤0，则x满足的条件是________．[答案]　(1)x

7、<0或x>5　(2)0≤x≤54.不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．∅[∵Δ＝9－4×6＝－15<0，∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为∅.]类型1　一元二次不等式的求解【例1】　(对接教材P52例题)解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0.[解](1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程

8、3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋.因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.10/10优选解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对

9、应方程的判别式．(3)某某根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．1．解下列不等式．(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.[解]　(1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的