2022版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法学案含解析新人教B版.doc

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1、优选第5节　一元二次不等式及其解法一、教材概念·结论·性质重现1．一元二次不等式一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x

2、x＞x2或x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

3、x1

4、＜x＜x2}∅∅3．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x

5、xb}{x

6、x≠a}{x

7、xa}(x－a)·(x－b)<0{x

8、a

9、b0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．(2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定．①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“

10、√”，错的打“×”．(1)不等式≤0的解集为[－1,2]．(　×　)(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)2．已知集合A＝{x

11、x2－2x－3≥0}，B＝{x

12、－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)A　解析：A＝{x

13、x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．故选A.3．函

14、数f(x)＝的定义域为(　　)A．[0,3]B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)A　解析：要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值X围是________．9/9优选解析：由题意可知mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，即解得m≥.5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.－14解析：由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，则解得(经检验知满足题意)．所以a＋b＝－14.考点1一元二次不等式的解法——综

15、合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y＝的定义域是________．[－1,7]解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1,7]．(2)解不等式：0

16、－2≤x＜－1或2＜x≤3}．9/9优选解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当

17、a<1时，原不等式的解集为(a,1)．将本例中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.因为a>0，所以a(x－1)<0.所以，当a>1时，解得1时，不等式的解集为.解含参数一元二次不等式的分类讨论依据9/9优选提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．1．(2019·某某卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值X围为________．解析：3x2＋x－2<0变

18、形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1

19、－1≤x≤1}解析：原不等式等价于或即或所以－1≤x<或≤x≤1，即解集为{x

20、－1≤x≤1}．3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.9/9优选①当a>0时，－<，不等式