2021_2022学年新教材高中数学第3章不等式3.33.3.1从函数观点看一元二次方程学案苏教版必修第一册.doc

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1、优选3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1　从函数观点看一元二次方程学习任务核心素养1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养.函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？a>0a<0一次函数y＝ax＋b的图象一元一次方程y＝ax＋b的根Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根二次函数y＝a

2、x2＋bx＋c(a>0)的零点知识点1　二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．10/10优选二次函数一定有零点吗？[提示]当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．1.思考辨

3、析(正确的画√，错误的画×)(1)二次函数y＝x2的零点为(0,0)．(　　)(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点．(　　)[答案](1)×　(2)×　(3)√知识点2　函数零点的探究当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,2＝有两个相等的实数

4、根x1,2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点有两个零点x1,2＝有一个零点x＝－无零点2.二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　)10/10优选A．1B．2C．－1D．－2C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1.]类型1　求函数的零点【例1】　求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示．[思路点拨](1)直接解出相应方程

5、的根．(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．[解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1.10/10优选又－(－1)＝，①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.②当a≠－

6、且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3.1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．若可以因式分解，

7、则一定存在零点．(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示．10/10优选[解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－.(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零

8、点；当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2.当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝，函数有两个零点和.综上：当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－时，函数的零点为－2；当a>－时，函数有两个零点和；当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．(3)由函数