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1、第五章线性微分方程组［教学目标］1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。［教学中难点］求解常系数非齐次线性微分方程组［教学方法］讲授，实践。［教学时间］16学时［教学内容］n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求
2、解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。［考核目标］1.线性微分方程组解的性质与结构。aj(t)(i,j1,2丄，n)和fj(t)(i1,2丄，n)在区间atb上2.能够求解常系数线性微分方程组。§5.1存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如X1a11(t)X1a12(t)X2La1n(t)Xnf1(t)X2a21(t)X1a22(t)X2La2n(t)Xnf2(t)(5.1)LLLLLXnan1(t)X1an2(t)X2Lann(t)Xnfn(t)的一阶线
3、性微分方程组，其中已知函数上是连续的。方程组（5.1）关于捲，血丄,Xn及Xi,X2丄,Xn是线性的.引进下面的记号：a11(t)a12(t)La1n(t)a21(t)a22(t)La2n(t)(5.2)A(t)21LLLLan1(t)an2(t)Lann(t)这里A（t）是nn矩阵，它的元素是2n个函数aij(t)(i,j1,2,L,n).f1(t)X1X1f2(t)X2X2(5.3)f(t)2XXMMMfn(t)XnXn这里f(t),x,x是n1矩阵或n维列向量。注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样
4、一来，方程组(5.1)可以写成下面的形式xA(t)xf(t)(5.4)引进下面的概念。一个矩阵或者一个向量在区间atb上称为连续的，如果它的每一个兀素都是区间atb上的连续函数。一个nn矩阵B(t)或者一个n维列向量u(t):b11(t)b12(t)Lb1n(t)u1(t)b21(t)b22(t)Lb2n(t)u2(t)B(t)21u(t)2LLLLMbn1(t)bn2(t)Lbnn(t)un(t)在区间atb上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间atb上可微。它们的导数分别由下式给出：b11(t)b12(t)Lb1n(t)u1(t)b21(t)b2
5、2(t)Lb2n(t)u2(t)B(t)2nu(t)LLLLMbn1(t)bn2(t)Lbnn(t)un(t)不难证明，如果nn矩阵A(t)，B(t)及n维向量u(t)，v(t)是可微的，那么下列等式成立：(I)A(t)B(t)A(t)B(t)u(t)v(t)u(t)v(t)(n)A(t)B(t)A(t)B(t)A(t)B(t)(川)A(t)u(t)A(t)u(t)A(t)u(t)类似地，矩阵B(t)或者向量u(t)在区间atb上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间atb上可积。它们的积分分别由下式给出：bab11(t)dtbab12(t)dtLba
6、b1n(t)dtbau1(t)dtbbab11(t)dtbab22(t)dtLbab2n(t)dtbbau2(t)dtaB(t)dtaaaau(t)dta2LLLLaMbbbbab11(t)dtaabn2(t)dtaLabnn(t)dtaaun(t)dta现在我们给出(5.4)的解的定义：定义1设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵，f(t)是同一区间atb上的连续n维向量。方程组xA(t)xf(t)5.4)在某区间这里a,b)的解就是向量u(t)，它的导数u(t)在区间t上连续且满足u(t)A(t)u(t)f(t)，t现在考虑带有初始条件x(t0)的
7、方程组(5.4)，这里t0是区间atb上的已知数,5.5)欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。定义2初值问题xA(t)xf(t),x(t0)的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间上的解u(t)，使得u(t0)。例2验证向量u(t)是初值问题x,x(0)在区间解显然上的解。u(0)0e0e因为et和et处处有连续导数，我们得到u(t)tete0110tete010110u(t)因此u(t)是给定初值问题的解。正如在第而章所看到的，当时，情况就复杂多了。在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出
8、，可以通过下面的方法，将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题
