常系数线性微分方程组

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1、第3节常系数线性微分方程组3.1常系数齐次线性微分方程组3.2常系数非齐次线性微分方程组本节主要讨论常系数线性方程的解法。方法：代数的方法2009年6月1南京航空航天大学理学院数学系一阶常系数非齐次线性微分方程组一阶常系数非齐次线性微分方程组为先讨论(1)的求解即(1)的基解矩阵的求法.方法：代数的方法2009年6月2南京航空航天大学理学院数学系2009年6月3南京航空航天大学理学院数学系将(2)代入(1)得1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法找n个线性无关的特解（构成基解矩阵）3.1常系数

2、齐次线性微分方程组2009年6月4南京航空航天大学理学院数学系方程组(3)有非零解的充要条件是:结论即2009年6月5南京航空航天大学理学院数学系2基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理3.1是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.2009年6月6南京航空航天大学理学院数学系证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是(1)的解,因此矩阵是(1)的解矩阵,所以2009年6月7南京航空航天大学理学院数学系注1：A的特征方程的n个特征根都是单根由线性代

3、数的知识有：属于不同特征值的特征向量是线性无关的．是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.2009年6月8南京航空航天大学理学院数学系解例12009年6月9南京航空航天大学理学院数学系2009年6月10南京航空航天大学理学院数学系其通解为2009年6月11南京航空航天大学理学院数学系例3.1求方程组的通解.解因此特征根为它们相的特征向量为2009年6月12南京航空航天大学理学院数学系故基解矩阵为故通解为2009年6月13南京航空航天大学理学院数学系注2：A的特征方程有重根时，但有n个线性无关特征向

4、量。且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵.2009年6月14南京航空航天大学理学院数学系解例2设求A的特征值与特征向量．由此2009年6月15南京航空航天大学理学院数学系2009年6月16南京航空航天大学理学院数学系得基础解系为：由2009年6月17南京航空航天大学理学院数学系故基解矩阵为故通解为2009年6月18南京航空航天大学理学院数学系若属于li的线性无关特征向量个数

5、A的线性无关的特征向量的个数

6、2009年6月24南京航空航天大学理学院数学系其通解为2009年6月25南京航空航天大学理学院数学系其通解为代入初始条件2009年6月26南京航空航天大学理学院数学系例4求方程组满足初始条件解这里系数矩阵特征根为2009年6月27南京航空航天大学理学院数学系我们需要考虑下面方程和首先讨论这个方程组的一个基解为其次2009年6月28南京航空航天大学理学院数学系其通解为2009年6月29南京航空航天大学理学院数学系其通解为2009年6月30南京航空航天大学理学院数学系其特解为2009年6月31南京航

7、空航天大学理学院数学系(3)矩阵A有复特征值例5解的根,2009年6月32南京航空航天大学理学院数学系解得解得2009年6月33南京航空航天大学理学院数学系2009年6月34南京航空航天大学理学院数学系其中，它的特征值中可能有共轭复数，，特征向量可能是复向量。将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。结论SeeP3042009年6月35南京航空航天大学理学院数学系3.2常系数非齐次线性微分方程组复习由第7.2节的一个满足的特解①②其通解为③满足的特解④2009年6月36南京航空航天大学理学

8、院数学系下面研究常系数非齐线性微分方程组定理3.4常系数非齐线性微分方程组(5)的通解为满足的特解（6）（7）证明见P3072009年6月37南京航空航天大学理学院数学系解由例5知故初值问题的解为例6设的解.2009年6月38南京航空航天大学理学院数学系故初值问题的解为2009年6月39南京航空航天大学理学院数学系注意：若基解矩阵不满足定理3.4中条件seeP308的例3.62009年6月40南京航空航天大学理学院数学系1.常系数齐次线性微分方程组的求解步骤小结(1)写出矩阵A的特征方程求出特征