.常系数线性微分方程组

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1、§5.3常系数线性微分方程组本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组（5.33）的基解矩阵的结构，这里是常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。5.3.1矩阵指数的定义和性质为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数（或写作），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。如果是一个常数矩阵，我们定义矩阵指数为下面的矩阵级数的和（5.34）其中为阶单位矩阵，是矩阵的次幂。这里我们规定，。这个级数对于所有的都是收敛的，因而，是一个确定的矩阵。事实上，由5.1.2中的性质，易知对

2、于一切正整数，有又因对于任一矩阵，是一个确定的实数，所以数值级数是收敛的（注意，它的和是）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵都是绝对收敛的。级数（5.35）在的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数，当（是某一正常数）时，有而数值级数是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。矩阵指数有如下性质：如果矩阵，是可交换的，即，则（5.36）事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法

3、定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。由二项式定理及，得（5.37）另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得（5.38）比较（5.37）和（5.38），推得（5.36）.对于任何矩阵，存在，且（5.39）事实上，与是可交换的，故在（5.36）中，令，我们推得由此即有如果是非奇异矩阵，则（5.40）事实上定理9矩阵（5.41）是（5.33）的基解矩阵，且.证明由定义易知，微分（5.41），我们得到这就表明，是（5.33）的解矩阵，又因为，因此，是（5.33）的基解矩阵。证毕。由定理9，我们可以利用这个基解矩阵推知（5.33）的任一解都具有形式（5.42）这里是一个常数向量。在某些特殊情况下，

4、容易得到（5.33）的基解矩阵的具体形式。例1如果是一个对角形矩阵，（非主对角线上的元素都是零），试找出的基解矩阵。解由（5.34）可得根据定理9，这就是一个基解矩阵，当然，这个结果是很明显的，因为在现在的情况下，方程组可以写成，，它可以分别进行积分。例2试求的基解矩阵。解因为，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到但是，所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是5.3.2基解矩阵的计算公式定理9告诉我们，（5.33）的基解矩阵就是矩阵.但是是一个矩阵级数，这个矩阵的每一个元素是什么呢？事实上还没有具体给出，上面只就一些很特殊的情况，计算了的元素。本段利用线性代数的基本知识，仔细地讨论的

5、计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基解矩阵的结构问题。为了计算（5.33）的基解矩阵，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。类似于第四章的4.2.2，试图寻求（5.33）的形如，（5.43）的解，其中常数和向量是待定的。为此，将（5.43）代入（5.33），得到因为，上式变为（5.44）这就表示，是（5.33）的解的充要条件是常数和向量满足方程（5.44）。方程（5.44）可以看作是向量的个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是满足方程这就引出下面的定义：假设是一个常数矩阵，使得关于的线性代数方程组（5.45）具有非零解的常数称为

6、的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值的非零解称为的对应于特征值的特征向量。次多项式称为的特征多项式，次代数方程（5.46）称为的特征方程，也称它为（5.33）的特征方程。根据上面的讨论，是（5.33）的解，当且仅当是的特征值，且是对应于的特征向量。的特征值就是特征方程（5.46）的根。因为次代数方程有个根，所以有个特征值，当然不一定个都互不相同。如果是特征方程的单根，则称是简单特征根。如果是特征方程的重根，则称是重特征根。例3试求矩阵的特征值和对应的特征向量。解的特征值就是特征方程的根。几、解之得到。对应于特征值的特征向量必须满足线性代数方程组因此，满足方程组所以，对于任意常

7、数是对应于的特征向量。类似地，可以求得对应于的特征向量为其中是任意常数。例4试求矩阵的特征值和对应的特征向量。解特征方程为因此，是的二重特征值。为了寻求对应于的特征向量，考虑方程组或者因此，向量是对应于特征值的特征向量，其中是任意常数。一个矩阵最多有个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量，因为最低限度有一个特征值。首先，让我们讨论当具有个线性无关的特征向量时（特别当具有个不同的特征值时，就是这种情形），微分方程组（5.33）的基解