2021_2022学年新教材高中数学课后素养落实二十四2.7.2抛物线的几何性质含解析新人教B版选择性必修第一册.doc

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1、考试课后素养落实(二十四)　抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，

2、AF

3、＋

4、BF

5、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A．　　　B．1　　　　C．　　　　D．C[由抛物线的定义，有

6、AF

7、＋

8、BF

9、＝＋＝xA＋xB＋p＝3，故xA＋xB＝3－p＝，故线段AB的中点到y轴的距离为．]2．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)A．2B．1　　

10、C．4D．8C[抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4．]3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，面积为(　　)A．2B．4　　C．6D．4D[据题意知，△FPM为等边三角形，

11、PF

12、＝

13、PM

14、＝

15、FM

16、，∴PM垂直抛物线的准线，设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，

17、PM

18、＝

19、F

20、M

21、得1＋＝，得m2＝12，-10-/10考试∴等边三角形的边长为4，其面积为4．]4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，

22、AB

23、＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是(　　)A．1B．2　　C．3D．4B[由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，∴A到准线x＝－的距离为xA＋，B到准线x＝－的距离为xB＋，∴线段AB的中点到准线的距离为＋，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝1，即xA＋xB＝2，由抛物线定义，

24、AF

25、＝＋xA，

26、BF

27、＝＋

28、xB，∴

29、AB

30、＝xA＋xB＋p＝4，即xA＋xB＝4－p，∴4－p＝2，即p＝2．]5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)A．－4B．4　　C．p2D．－p2A　[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，∴x1x2＝，-10-/10考试∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4．②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝，∴y1

31、y2＝－p2，故＝－4．]二、填空题6．已知点A(0，)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若

32、FM

33、∶

34、MN

35、＝1∶2，则抛物线的方程是________．y2＝4x[依题意F点的坐标为，如图，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知

36、MF

37、＝

38、MK

39、，∵

40、FM

41、∶

42、MN

43、＝1∶2，∴

44、KN

45、∶

46、KM

47、＝∶1＝，∴p＝2，∴p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．]7．已知直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由

48、P，-10-/10考试Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果

49、PF

50、＝a，

51、QF

52、＝b，M为KS的中点，则

53、MF

54、的值为________．[①PQ与x轴不垂直时，如图，根据抛物线的定义，有

55、PF

56、＝

57、PK

58、，

59、QF

60、＝

61、QS

62、，易知△KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PKSQ中，容易求得

63、KS

64、＝2．故

65、FM

66、＝

67、KS

68、＝．②PQ⊥x轴时，

69、MF

70、＝p＝a＝b＝．综上可知，

71、MF

72、＝．]8．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且

73、P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0．]三、解答题9．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且

74、PF

75、＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若

76、AB

77、＝8，求k的值．[解]　(1)抛物线C：y2

78、＝2px的准线为x＝－，由

79、PF

80、＝2得1＋＝2，得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．-10-/10考试(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝．∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴

81、AB

82、＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值为1或－1．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF