2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量学案含解析新人教B版选择性必修第一册.doc

《2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量学案含解析新人教B版选择性必修第一册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、考试1.2.2　空间中的平面与空间向量　导思1.什么是平面的法向量？它在解决线面位置关系中有何用途？2．什么是三垂线定理及其逆定理？1.平面的法向量(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则：1若直线l⊥α，则l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量2对任意实数λ≠0，λn是平面α的一个法向量3向量一定与n垂直，即

2、·n＝0平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？提示：不唯一，都平行．2．空间线面的位置关系与空间向量若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：1n1∥v⇔l⊥α12n1⊥v⇔l∥α1或l⊂α13n1⊥n2⇔α1⊥α2-15-/15考试4n1∥n2⇔α1∥α2或α1，α2重合已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？提示：不一定，也可能l⊂α.3．三垂线定理及其逆定理射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点

3、A′，则A′就是点A在平面α内的射影，也称为投影．三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.()提示：(1

4、)×.向量a必须为非零向量．(2)√.(3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()A．(0，1，2)B．(3，6，9)C．(－1，－2，3)D．(3，6，8)【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．3．(教材例题改编)已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________．-15-/15考试【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.又因为OC为PC在平面ABC内的射影，

5、所以由三垂线定理知AB⊥PC.答案：垂直关键能力·合作学习类型一　平面的法向量(数学运算)1．若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为()A．(－1，2，－1)B．(1，2，1)C．(1，2，－1)D．(－1，2，1)2．已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(1，－1，1)B．PC．PD．P3．正四棱锥如图所示，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的是________．-15-/15

6、考试【解析】1.选A.两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则，取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1，2，－1).2．选B.设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)；由题意知，⊥n，则n·＝0；所以3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，化简得3x＋y＋2z＝9.验证得在A中，3×1－1＋2×1＝4，不满足条件；在B中，3×1＋3＋2×＝9，满足条件；同理验证C、D不满足条件．3．连接AC，BD，交于点O，连接OP，则是底面ABCD的一个法向量

7、，－＋－＝＋＝0，不能作为底面ABCD的法向量；＋＝－2，能作为底面ABCD的法向量；＋＝－2，能作为底面ABCD的法向量；＋＋＋＝－4，能作为底面ABCD的法向量．答案：－＋－求平面ABC的一个法向量的方法1．平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求．2．待定系数法：步骤如下：-15-/15考试类型二　三垂线定理及其逆定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.【思

8、路导引】利用三垂线定理及其逆定理证明【证明】如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.因为PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，所以PE⊥BC，所以点Q在PE上．因为⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ.①连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.连接MF.因为PA⊥平面ABC，BF⊥AC，-15-/1