备战2021年高考数学解题方法专练05 配方法、配凑法 （解析版）.doc

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1、专题05配方法、配凑法【方法指导】配方法:将问题看成某个变量的二次式,并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和配的形式,以达到发现和研究问题性质的效果.此方法在解二次函数的有关问题及化简曲线方程中经常用到.配凑法:为解答某些数学问题,常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式,凑成某一合适的形式,以使问题迅速解决,我们称这类解题技巧为配凑法.当题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时,常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决.【例题解读】【典例1】（2020年天津市高考数学试卷）

2、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算

3、，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.【典例2】已知，则的表达式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用配凑法，求得的表达式.【详解】由于，所以.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.【小结】对于已知，求函数f(x)解析式的类型，解题时可用配凑法求解．配凑法就是说通过配方法、填项去项等措施对进行变换，最终配凑出，然后求出。【典例3】（四省名校2021届高三第三次大联考数学（文）试题）已知函数，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（）①是的周期；②是偶

4、函数；③的图像关于直线对称；④的最小值是A．个B．个C．个D．个【答案】B【分析】根据函数解析式一一代入验证即可判断①②③，对函数求导，利用导数判断④；【详解】解：①正确；②错误；，③错误；令.解得或·当即时，有最小值﹐最小值为.④正确.故选：.【典例4】（四川省成都市2021届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（）A．2B．C．D．【答案】C【分析】设出抛物线上的一点，由焦半径公式写出，得出的表达式，再利用基本不等式求出最值，从而得

5、到.【详解】为抛物线的焦点，，准线为，设，则由基本不等式由，当且仅当时取等号故，当且仅当时取等号此时故选：C【点睛】焦半径公式如下：抛物线的焦点为F，为抛物线上的一点，则.【专题训练】一、单选题1．（2020·江西高一其他模拟）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方法一：令，解得．∴．选B．方法二：∵，∴．∴．选B．2．（2021·山西晋中市·高三二模（文））已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先利用正弦的二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简计算得出的值，然后利用正切的二倍角公式

6、计算即可得解.【详解】因为，所以，从而可得.故选：A．3．（2020·甘肃张掖市第二中学高三月考（文））已知，则函数的图象大致为A．B．C．D．【答案】A【详解】∵，∴．由解得或，故排除B．∵，∴函数为奇函数，排除C．又，故排除D．综上选A．4．（2021·全国高三其他模拟）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由余弦的二倍角公式转化已知式为关于的方程，解得后再求得，从而可得．【详解】由得，即，解得或（舍）．因为，所以，所以．故选：A．5．（2021·山西高三一模（理））已知，且，则的最小

7、值是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【分析】根据题意，化简,结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且，所以,由，可得，所以，代入，得解得，又因为，所以．此时“等号”成立，故所求最小值为8．故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条

8、件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．（2021·江苏高一单元测试）已知单位向量，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案.【详解】由，得，两边平方，得，即，整理得，所以或因为，所以，所以，所以.故选:B.【点睛】本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数