2022版新教材高考数学一轮复习19利用导数研究不等式恒成立能成立问题训练含解析新人教B版20210514211.doc

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1、优选十九　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．若不等式>0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值X围是(　　)A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－∞，4)D．(4，＋∞)D　解析：依题意，不等式x3－2x－a<0在[1,2]上恒成立，即a>x3－2x.令g(x)＝x3－2x，则g′(x)＝3x2－2>0在[1,2]上恒成立，因此g(x)max＝g(2)＝4.故a>4.2．若存在正实数x使ex(x2－a)＜1成立，则实数a的取值X围是(　　)A．(－1

2、，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－2，＋∞)D．[－1，＋∞)A　解析：存在正实数x使ex(x2－a)＜1成立，即a＞x2－在区间(0，＋∞)上有解．令f(x)＝x2－，f′(x)＝2x＋＞0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝－1.又a＞x2－在区间(0，＋∞)上有解，所以a∈(－1，＋∞)．3．已知f(x)＝lnx＋1－aex，若关于x的不等式f(x)<0恒成立，则实数a的取值X围是(　　)A.B．(－∞，0)C．D．D　解析：由f(x)<0恒成立得a>恒成立，8/8

3、优选设h(x)＝，则h′(x)＝.设g(x)＝－lnx－1，则g′(x)＝－－<0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为g(1)＝0，所以当0g(1)＝0，即h′(x)>0；当x>1时，g(x).故选D.4．已知函数f(x)＝m－2lnx(m∈R)，g(x)＝－.若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)

4、m的取值X围是(　　)A．B．C．(－∞，0]D．(－∞，0)B　解析：由题意，不等式f(x)

5、_____.14解析：由题意f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，则f(x)在[－1,2]上单调递减，在[2,5]上单调递增，所以当x∈[－1,5]时，f(x)min＝f(2)＝8－24＋3＝－13.8/8优选又g(x)＝3x－m在[0,2]上单调递增，所以x∈[0,2]时，g(x)min＝g(0)＝1－m，所以－13≥1－m，得m≥14.故实数m的最小值是14.6．已知x∈(0,2)，若关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值X围为________．[0，e－1)　解析：由题意，知k＋2x

6、－x2＞0.即k＞x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立．令f(x)＝＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1).令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,2)上单调递增．当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k＜f(x)min＝f(1)＝e－1.故实数k的取值X围为[0，e－1)．7．函数f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的

7、切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，某某数a的取值X围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2a＋，f′(1)＝3－2a，由题意f′(1)·＝(3－2a)·＝－1，解得a＝.(2)不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2lnx≥－x＋a－.8/8优选令g(x)＝2lnx＋x－a＋，则g′(x)＝＋1－＝＝，则在区间(0,1)上，g′(x)<0，函数g(x)为减函数；在区间(1

8、，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数．由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4，所以实数a的取值X围是(－∞，4]．8．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值X围．(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.当x