2021_2022学年新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§11.2空间两点间的距离公式学案北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选1.2　空间两点间的距离公式学习任务核心素养1．会推导空间两点间的距离公式．(重点)2．能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)1．通过推导空间两点间的距离公式，培养直观想象与逻辑推理素养．2．借助空间两点间的距离公式的应用，培养数学运算素养．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式是什么？怎样推导的？通过类比，你能否得到在空间直角坐标系中两点间的距离公式？空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离

2、OP

3、＝．(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离

4、PQ

5、＝．方程x2＋y2＋

6、z2＝1表示什么图形？[提示]以坐标原点为圆心，1为半径的球面．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点P(a，b，c)到x轴的距离为．(　　)(2)棱长为a，b，c的长方体的体对角线长为．(　　)(3)不等式x2＋y2＋z2≤1表示以坐标原点为圆心，1为半径的球．(　　)(4)＋≥．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√2．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1-7-/7优选的体对角线长为6，且底面是边长为4，则该正四棱柱的高为(　　)A．9　　　　B．　　　　C．4　　　　D．2D[正四棱柱的高h＝＝2．]3．空间两点P1(

7、1，2，3)，P2(3，2，1)之间的距离为________．2[

8、P1P2

9、＝＝2．]4．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．[解](1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)．(2)

10、MD

11、＝＝，

12、MN

13、＝＝．类型1　求空间中两点间的距离【例1】　如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

14、C1C

15、＝

16、CB

17、＝

18、CA

19、＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点

20、，F是AC的中点，求DE，EF的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．-7-/7优选∵

21、C1C

22、＝

23、CB

24、＝

25、CA

26、＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴

27、DE

28、＝＝，

29、EF

30、＝＝．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[跟进训练]1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC的三个顶点，求证：△ABC为直角三

31、角形．[证明]

32、AB

33、＝＝，

34、BC

35、＝＝，

36、AC

37、＝＝，∴

38、AC

39、2＋

40、BC

41、2＝75＋14＝89，又

42、AB

43、2＝89，∴

44、AC

45、2＋

46、BC

47、2＝

48、AB

49、2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．类型2　由距离公式求空间点的坐标-7-/7优选【例2】　已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使

50、PA

51、＝

52、PB

53、，则点P的坐标为________．(0，0，6)[设P(0，0，z)，由

54、PA

55、＝

56、PB

57、，得＝，解得z＝6．∴点P的坐标为(0，0，6)．]1．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？[解]设P(

58、0，y，0)，由

59、PA

60、＝

61、PB

62、，得＝，解得y＝－．∴点P的坐标为．2．求到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．[解]因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，所以＝．化简得9x＋5y－4z＋24＝0，因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是9x＋5y－4z＋24＝0．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．2．到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)构成的集合就是线段AB的中垂面，P-7-/7优选是线段AB的中垂面与

63、z轴的交点．类型3　距离公式的应用【例3】　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求

64、PQ

65、的最小值．[解]由题图可知，P．∵Q点在CD上，∴设Q(0，1，z)，z∈[0，1]，∴

66、PQ

67、＝＝，∴当z＝时，

68、PQ

69、min＝．本题首先设出Q点的坐标，然后利用距离公式表示

70、PQ

71、，从而将其转化为函数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.[跟进训练]2．在xOy平面内的直线

72、2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)