2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步（专练）解析版.docx

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1、第八章立体几何初步（压轴题专项训练）一、选择题1．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），设的面积为则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【详解】连接交于点，过作，在正方体中，平面，所以，所以为异面直线与的公垂线，根据，则，即，所以的最小面积为，当点与重合时，此时是边长为的等边三角形，此时，又因为点与、不重合，所以，所以的面积的取值范围是.2．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．【答案】B【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出

2、当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.3．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】分析：先判断出点的位置，确定使得取得最大值和最小值时点的位置，然后再通过计算可求得线段长度的取值范围．详解：如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，∵分别为所在棱的中点，则，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AE

3、F．∵，∴四边形为平行四边形，∴，又平面AEF，AE⊂平面AEF，∴∥平面AEF，又，∴平面∥平面AEF．∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，∴点P必在线段MN上．在中，．同理，在中，可得，∴为等腰三角形．当点P为MN中点O时，，此时最短；点P位于M、N处时，最长．∵，．∴线段长度的取值范围是．故选B．4．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．线段BM的长度是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE

4、⊥A1CD．存在某个位置，使平面A1DE【答案】C【详解】解：取CD中点N，连接MN，BN，则MNDA1，BNDE，所以平面MBN平面A1DE，所以MB平面A1DE，故D正确；由∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，由余弦定理可得，所以MB是定值，故A正确；因为B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，故B正确；连接AN,EN,设AN,DE交点为F,连接，易知ADNE为正方形，又在折叠过程中始终不变，直线DE⊥平面,平面平面ABCD,根据面面垂直的性质定理可得A1在平面ABCD中的射影O在线段AN上，A1C在平

5、面ABCD中的射影为OC，由于是直角，所以与DE不垂直，DE⊥A1C不可能，可得C不正确.故选：C.5．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，则四面体的体积为A．B．C．D．【答案】C【详解】如图，延长至，使得，连接，因为，故为等腰三角形，又，故，所以即，故，因为，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因为的中点，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故即为直角三角形，所以，所以，故选C.6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为A．B．C．D．【答案】D【详解】分析：根据棱锥的最大高度

6、和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为，所以，过的中点作平面的垂下，则球心在上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，因为，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故选D．7．在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、、、，因为四边形为正方形，则且，因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，在正方体中，且，且，所以四边形为平行四边形，可得，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平

7、面平面，在线段上任取一点，则平面，平面，即点的轨迹为线段，在中，，，当时，即当为的中点，的长度取最小值，即，当点与点或点的重合时，的长度取最大值，即.因此，线段长度的取值范围是.故选：C.8．已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由直四棱柱内接于球，则四点在球面上，所以四边形为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补.又四边形是平行四边形，所以为矩形.在直四棱柱中，平面，所以又，，所以平面，所以所以四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱.由外接球体积为，

8、则球的半径为,由为该外接球的直径，则设，则，则在中,，由余弦定理可得所以设的外接圆的半径为，由正弦定理可得所以当且仅当,即时取得等号，即的最小值为其外接球被平面截得图形面积的最小