2022年高三毕业班数学（文理通用）常考点归纳与变式演练专题05函数的基本性质 （解析版）

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1、专题05函数的基本性质专题导航目录常考点01函数的单调性1常考点02函数的奇偶性4常考点03函数的对称性7常考点04函数的周期性10常考点05函数性质的综合运用14常考点归纳常考点01函数的单调性【典例1】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）A．B．C．D．2．(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】1.D2.（不答案不唯一）【解析】1.对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数

2、，符合题意，故选：D.2.这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．【考点总结与提高】1．函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com][来源:学科网]当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2．单调区间的定

3、义若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，

4、0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．3．函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．4．函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在

5、实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.【变式演练1】1．下列函数中，定义域是且为增函数的是A．B．C．D．2．函数的单调递减区间是A．B．C．D．【答案】1.B2.D【解析】1.四个函数的图象如下显然B成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根

6、据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2.设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．常考点02函数的奇偶性【典例2】1．(2021年高考全国乙卷理科)

7、设函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．B．C．D．2．设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是(　　)A．是偶函数B．

8、

9、是奇函数C．

10、

11、是奇函数D．

12、

13、是奇函数【答案】1.B2.C【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B2.设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C．【考点总结与提高】1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如

14、果对于函数的定义域内任意