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1、下滑梯子中的数学问题430223武汉市光谷实验中学吴国庆问题背景：如图1，一个梯子AB,斜靠在一竖直的墙BC上，梯子的顶端B沿墙下滑（∠ABC＜∠BAC,AB=c）。问题一：梯子AB下滑过程中，点A和点B哪个速度快？如图2，当梯子AB滑至EF时（FC=EC）,由∠ACB=90°,AB=EF=c知EC=FC=,设BF=x,AE=y,由勾股定理建立方程：(+x)2+(-y)2=c2,整理得(y-x)=x2+y2,又x2+y2﹥0，所以(y-x)﹥0，可得y>x,即AE>BF,说明当梯子AB滑至EF时，点A比点B速度快；如图3，当梯子AB滑过EF至MN时，同理可推FN>ME,说明当梯子
2、滑过EF后，点A比点B速度慢。问题二：梯子AB下滑过程中，△ABC的周长最大（最小）值。由问题一知：△ABC的周长小于△EFC的周长,△MNC的周长小于△EFC的周长,说明△EFC的周长最大，所以梯子AB下滑过程中，△ABC的周长最大值为+c(即△EFC的周长)，由运动过程知△ABC的周长没有最小值。问题三：梯子AB下滑过程中，△ABC的面积最大（最小）值。如图4，作CD⊥AB垂足为D,取AB中点O2,连接CO2,可得CO2=c,∵CD≤CO2(D与O2重合时取等号)，∴S△ABC=AB×CD≤c×c=c2(D与O2重合时取等号),即梯子AB下滑过程中，△ABC的面积最大值为c2
3、。也可设AC=b,BC=a,∵(a-b)2=a2+b2-2ab≥0(a=b时取等号),又∵a2+b2=c2,∴c2-2ab≥0,即ab≤c2,∴△ABC的面积最大值为c2.由运动过程知△ABC的面积无最小值。问题四：梯子AB下滑过程中，梯子AB的中点O2的运动轨迹。如图5，取AB中点O2,连接CO2,当梯子AB下滑过程中，CO2=c为定值，而C为定点，∴梯子AB下滑过程中，梯子AB的中点O2的运动轨迹是以点C为圆心，c为半径的一段圆弧。问题五：梯子AB下滑过程中，△ABC的最大（小）内切圆。如图6，⊙O1切△ABC三边于P,Q,R,连接PO1,QO1,RO1,可知四边形PCQO1
4、为正方形，设⊙O1的半径为r,AC=b,BC=a,由切线长定理知:BQ=BR=a-r,AP=AR=b-r,∴c=a-r+b-r,即r=(a+b-c)=(a+b+c-2c),由问题二知内切圆半径r的最大值为(c-c)（即梯子AB下滑到EF时）。由运动过程知△ABC无最小内切圆。问题六：梯子AB下滑过程中，△ABC的内心和外心距离最小值。如图7，△ABC的内心为O1,△ABC的外心为AB的中点O2，连接O1P,CO1，CO2,设⊙O1的半径为r,则CO1=r，又CO2=c,∵O1O2≥CO2﹣CO1(C,O1,O2共线时取等号)，又CO2﹣CO1=c﹣r,由问题五知：r≤(c-c),
5、即﹣r≥﹣×(c-c)=﹣c(C,O1,O2共线时取等号)，∴O1O2≥c+﹣c=C(C,O1,O2共线时取等号,即梯子AB下滑到EF时)，∴△ABC的内心和外心距离最小值为C（即梯子AB下滑到EF时）。问题七：梯子AB下滑过程中，△ABC的内心和在∠ACB内的旁心距离。如图8，△ABC的内心为O1，⊙O3切△ABC三边于H,I,K,连接HO3,IO3,KO3,CO1,PO1,可知C,O1,O3共线，四边形HCKO3为正方形，设⊙O1的半径为r,⊙O3的半径为R，则CO1=r，CO3=R,∴△ABC的内心和在∠ACB内的旁心距离O1O3=(R﹣r),令AC=b,BC=a，又由切线
6、长定理知：AH=AI,BK=BI,∴CH+CK=CA+CB+AH+BK=a+b+c=2R,即R=,由问题五r=(a+b-c)，∴O1O3=(R﹣r)=C,即梯子AB下滑过程中，△ABC的内心和在∠ACB内的旁心距离为定值C。数学来源于生活，只要我们用数学的眼光去观察，就会发现在我们身边处处是数学。《中学数学》2010年8期
