中考中的“梯子”问题.doc

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1、中考中的“梯子”问题图１ＣＢＡ在日常生活中我们知道，把一张梯子的底端放在地上，另一端斜靠在垂直于地面的墙上，此时的梯子和地面、墙面就构成了一个直角三角形，中考中命题者以此为背景设计了许多形形色色的问题，我们把这类问题叫做“梯子”问题．例１　如图１，一架梯子ＡＢ斜靠在一面墙上，底端Ｂ与墙角Ｃ的距离ＢＣ为１米，梯子与地面的夹角为７０°，求梯子的长度（精确到０．１米）．分析：这是个最简单“梯子”问题，它实际上是一个解直角三角形的问题，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１，∠Ｂ＝７０°，由ＢＣ＝ＡＢ·ｃｏｓＢ，得ＡＢ＝≈２．９２≈３（米

2、）．Ｂ图２ＡＮＰＭＯ·例２　如图２所示，一根长为２ａ的木棍（ＡＢ），斜靠在与地面（ＯＭ）垂直的墙（ＯＮ）上，设木棍的中点为Ｐ．若木棍Ａ端沿墙下滑，且Ｂ端沿地面向右滑行．（１）请判断木棍滑动的过程中，点Ｐ到点Ｏ的距离是否变化，并简述理由；（２）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△ＡＯＢ的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．分析：（１）因为Ｐ是木棍ＡＢ的中点，不论木棍滑动到什么位置，Ｐ都始终是ＡＢ的中点，因此，只要ＡＢ与墙角构成直角三角形，Ｐ都是斜边的中点，根据“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可知，点Ｐ到Ｏ的

3、距离总是等于ＡＢ长的一半ａ，故在木棍滑动的过程中，点Ｐ到点Ｏ的距离不变；（２）设法建立△ＡＯＢ的面积与直角边ＯＢ长的关系式．设ＯＢ＝ｘ时，△ＡＯＢ的面积为ｙ，则ＯＡ＝，所以ｙ＝ＯＢ·ＯＡ＝ｘ＝＝，故当＝２，即ｘ＝时，ｙ有最大值，为＝２．　Ａ　　ＯＢ图３例３　如图３，梯子靠在墙上，梯子的底端Ａ到墙根Ｏ的距离为２米，梯子的顶端Ｂ到地面的距离为７米．现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根Ｏ的距离等于３米，同时梯子的顶端Ｂ下降至，那么：等于１米；大于１米；小于１米．其中正确结论的序号是＿＿＿．分析：注意ＡＢ＝，运用勾股定

4、理．设Ｂ＝ｘ米，则Ｏ＝７－ｘ，又ＡＢ＝，故在Ｒｔ△Ｏ中，Ｏ＝３，＝，由勾股定理，得，解得ｘ＝７±２，又ｘ＜７，故ｘ＝７－２＜１，故填．　　　Ａ　　　　　　ＣＢ图４例４　如图４，梯子ＡＢ斜靠在墙上，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝５米，ＢＣ＝４米．当先Ｂ下滑到点时，点Ａ向左平移到点．设Ｂ＝ｘ米（０＜ｘ＜４时，Ａ＝ｙ米．（１）用含ｘ的代数式表示ｙ；（２）当ｘ为何值时，点Ｂ下滑的距离与点Ａ向左平移的距离相等？（３）请你对ｘ再取几个值，计算出对应的ｙ值，并比较对应的ｙ值与ｘ值的大小（ｙ值可以用精确到０．０１的近似数表示，也可以用无理数

5、表示）．（４）根据第（１）～（３）题的计算，还可以结合画图、观察，推测ｙ与ｘ的大小关系及对应的ｘ的取值范围．分析：（１）在Ｒｔ△Ｃ中，由题意，得Ｃ＝４－ｘ，故Ｃ＝，所以ｙ＝－３；（２）由题意，得－３＝ｘ，移项，得＝ｘ－３，两边平方并整理，得，所以＝１，＝０（舍去），故当ｘ＝１时，点Ｂ下滑的距离与点Ａ向左平移的距离相等；（３）由于ｘ＝１时，ｙ＝ｘ，又０＜ｘ＜４，故分别取ｘ＝０．５，ｘ＝２等进行计算ｙ的值；当ｘ＝时，ｙ＝＞；当ｘ＝２时，ｙ＝＜２；（４）由（３）的计算及（２）的求解可见：当０＜ｘ＜１时，ｙ＞ｘ；当ｘ＝１时，ｙ

6、＝ｘ；当１＜ｘ＜４时，ｙ＜ｘ．