积分中的对称性

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1、积分中的对称性【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)6Dn时，有Pi(xi,xi1,…，xn,x1,x2,…，xi-1)€Dn,i=1,2,…，n。在一

2、元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有/a-af(x)dx=0,f(-x)=-f(x)2KJF(ZRa0f(x)dxKJF”，f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。1对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)db方面的应用。y轴(或x轴)对称，则有结论1若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于)的奇函数(TDf(x,y)d

3、①=0,f(x)为关于x(或y②，f(x,y)Df(x,y)d(r=2D1f(x,y)db为关于x(或y)的偶函数。xD其中D1为区域被y轴(或轴)所分割的两个对称区域之一。内可积，且区域DD关于原点成中心对称，则有：若结i2f(x,y)在区域f(x,y)关于原点成奇对称；(TDf(x,y)d=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即①f(x,y)(T,f(-x,-y)=f(x,y),即D2f(x,y)dD1f(x,y)dDf(x,y)d②b=2b=2关于原点成偶对称，其中D1、D2关于原点对称，且D1D2=0O结论

4、3若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：奇对称；L关于直线=0,f(x,y)bDf(x,y)d①=2D1f(x,y)d(r,f(x,y)Df(x,y)db关于偶对称。②所分割的两个对称区域之一。被直线L其中D1为区域D,则f(P尸-f(Q),(f(P尸f(Q))P、Q,都有L说明：若对D内关于直线对称的任意两点f(x,y)关于直线L奇(偶)对称。称时，有(y,x)6D,这时积分区关于直线y=x对称，则当点(x,y)€D特别地，若区域Dy具有轮换对称性。这时我们有：D域关于x、Df(x,y)db[

5、=12Df(x,y)f(y,x)]db则Df(x,y)db关于直线y=x奇对称，=0;若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)=2D1f(x,y)d

6、x,y,z)为关于zf(x,y,z)dv(或x或y)的偶函数。②Q若积分区域Q关于x,y,z具有轮换对称性，即当(x,y,z)6Q时,=Qf(z,x,y)dvv=Qf(y,z,x)d(y,z,x),(z,x,y)6Q,这时有Qf(x,y,z)dv=13Q[f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)]dv2对称性在曲线积分计算中的应用2.1对称性在第一类曲线积分计算中的应用结论1若积分曲线L关于x轴(或y轴)对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有：①/Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于

7、y(或x)的奇函数；②/Lf(x,y)ds=2/L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y(或x)的偶函数。结论2若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)€L时，有(y,x)€L,即L关于具有轮换对称性，这时有：x,y/Lf(x,y)ds=/Lf(y,x)ds=12/L[f(x,y)f(y,x)]ds若f(x,y)=-f(y,x),即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则/Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x),即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则/Lf(x,y)ds=2/L1f(y,x)ds。其

8、中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。2.1对称性在第二类曲线积分计算中的应用设有曲线积分I=/LP(x,y)dx,其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线(包括坐标轴)对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于n2时，投影元素为正，