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时间：2022-01-08
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1、第九章小波与小波变换前言小波分析是近十几年才发展起来的，并迅速应用到图像和语音处理等众多领域的一种数学工具。它是继一百多年前的傅立叶分析之后的又一个重大突破。小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到较多的数学知识。本章从工程应用出发，比较直观的介绍小波变换和应用。第一节小波介绍8.1.1小波简史为继承傅立叶分析的优点，克服其缺点，人们一直在寻找新的方法。1909年哈尔发现小波，并命名为哈尔小波。20世纪70年代，地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换的概念。小波变换的主要算法是由法国科学家Steph
2、aneMallat在1988年提出。8.1.2小波概念小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图所示。在图中缩放函数和小波函数的名称大多是以开发者的名字命名的。在众多小波中，选择哪种小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到的数据也不同。如果没有现成的小波可用，还要自己开发适用的小波。部分小波图:8.1.3小波分析信号分析一般是为了获取时间和频率的相互关系。傅立叶变换得到了频域的信息，但时间方面局部化信息却基本丢失。小波变换通过平移母小波可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度可获得
3、信号的频率特性。本小节将介绍小波分析中常用的3个基本概念：连续小波分析、离散小波分析和小波重构。1连续小波变换(continuouswavelettransform)傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，即正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波也可以作为一些函数的基函数。小波变换可以理解为用经过平移和缩放的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。连续小波变换可用下式表示：这个式子的含义是，小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在
4、的整个期间求和。CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子和位置的函数。CWT的变换过程分为5个步骤：1）把小波和原始信号f(t)的开始部分进行比较2）计算系数C.该系数表明该部分和小波的近似程度3）把小波右移k,然后重复1）和2）。再把小波右移k，重复1）和2），直到信号f(t)结束。4）扩展小波5）重复1~42离散小波变换在计算连续小波变换时，实际也是用离散的数据进行计算的。若缩放因子和平移参数都选择2j(j>0的整数）的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换。离散小波变换通常指的是双尺
5、度小波变换。执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。用滤波器执行离散小波变换,S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号，A表示信号的近似值，D表示信号的细节值。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。近似值表示信号的低频分量，而细节值表示信号的高频分量
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