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1、第七章数学物理定解问题内容几类典型的数学物理方程的导出定解条件方程的分类达朗贝尔公式物理规律或工程科学与技术问题的数学表达式中，有许多是微分方程。例质点力学——质点的位移电路——电流、电压以时间为自变量的常微分方程空间连续分布的物理场——静电场电场强度或电势电磁波电场强度或磁场强度以时间和空间坐标为自变量的偏微分方程物理和工程技术问题用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程。个性边界条件初始条件定解条件泛定方程在给定的定解条件下，求解数学物理方程—数学物理定解问题定解问题解决问题数学表示物理规律——共性第一节数学物理方程的导出一、弦振动方

2、程物理模型一长为l的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦上各点的运动规律。柔软性：发生于弦中的张力其方向总是沿着弦线的切线方向均匀细弦：线密度为常数，弦线可以ol来代替平面微小振动：若用u(x,t)来表示弦线在t时刻的形状，则微小振动是指讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移据牛顿第二定律u方向

3、运动的方程可以描述为作用于小段的纵向合力应该为零：xuBAC12(1)(2)利用微小振动近似u很小，所以有(2)简化为每个时刻都有：dsdx，长度ds不随时间而变张力T是常数T=ConstT与x无关将近似关系式代入(1)得即令弦振动方程波动方程一维波动方程推广1——受迫振动设均匀弦沿位移方向还受到外加横向力的作用，单位长度受力为F(x,t),则方程(1)为若令可得均匀弦的受迫振动方程非齐次项非齐次一维波动方程齐次一维波动方程推广2——二维、三维波动方程非齐次齐次齐次非齐次二维：均匀薄膜的微小横振动三维：流体力学与声学方程、电磁

4、波方程推广3——均匀杆的纵振动段的运动方程为可得这就是杆的纵振动方程．对于均匀杆，ρ和Y是常数其中二、热传导方程由于物体内各处的温度不均匀，热量从温度髙的地方流向低的地方，叫做热传导。热传导问题是研究温度在空间中的分布和时间中的变化。热流强度:单位时间通过单位面积的热量热传导定律——傅立叶定律分量公式热传导热传导系数物体的比热物体吸收（或放出）热量dQ，将引起温度的升高（或降低）du。密度物体的比热因为体积元很小因此（3）热传导方程o(x,y,z)zxy(x+dx,x+dy,z+dz)dxdydz取物体内部体积元为一平行六面体沿x轴方向

5、，热流分量qx左表面－>右表面沿y轴方向，热流分量qy前表面－>后表面沿z轴方向，热流分量qz下表面－>上表面这些热量引起温度的变化。将上式代入(1)得即对于均匀各向同性的物体，K,c,是常数。所以则得方程为令齐次三维热传导方程（2）如果在物体中存在着热源，热源强度（单位时间在单位体积产生的热量）为F(x,y,z,t)。则热传导方程应为推广1——有源热传导则得非齐次的三维热传导方程为令推广2——扩散方程为扩散系数推广3——泊松方程和拉普拉斯方程在热传导问题中，物体周围的环境温度不随时间而变长时间ut=0第二节定解条件边界条件、初始条件

6、——定解条件泛定方程数学物理方程普遍性特殊性一、初始条件与时间有关的物理过程，必须给出初始条件。波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度．1，波动方程2，热传导方程（或扩散方程）初始状态指所研究的物理量u的初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）例1一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。xuoblh图9.5【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示二、边界条

7、件边界上的物理状况线性边界条件三类Ⅰ类－规定所研究的物理量在边界上的数值；Ⅱ类－所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；Ⅲ类－所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。即Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类第一类边界条件（Dirichlet）例边界条件弦的两端x=0和x=l固定而振动杆的热传导问题，若杆的一端x=a处绝热第二类边界条件（Neumann）例例杆的热传导问题，若杆的一端x=a的温度u按已知规律f(t)变化.恒温第三类边界条件杆的热传导问题，x=L的一端处在一种自由冷却情况下。例牛顿冷却定律：沿外法线方向的热流强度与物体和媒质的温

8、差成正比令h=K/H,化为三类边界条件，可以用统一的线性关系式（，）：（0，）、（，0）、（，）Ⅲ类Ⅱ类Ⅰ类非齐次齐次