方位角解决实际问题

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1、方位角解决实际问题运用解直角三角形的知识解决实际问题的应用题是近几年来中考的热点题型，在这些问题中，有许多都与“角”有着密不可分的关系.举例说明如下.一、仰角和俯角在进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（如图1）.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可记为“上仰下俯”.例1（山东菏泽）菏泽市在城市建设中，要拆除旧烟囱（如图2），在烟囱正西方向的楼的顶端，测得烟囱的顶端的仰角为，底端的俯角为，已量得.（1）在原图上画出点望点的仰角和点望点的俯角，并分别标出仰角

2、和俯角的大小.（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由.分析：（1）连接、，再过点作，即可画出仰角和俯角；（2）把“分割”成和，再利用公共直角边沟通和之间的联系，进而直接求解.解：（1）如图3所示，连接、，过点作于点，则是的仰角，是的俯角.（2）在中，米，∵，即，∴（米），又∵在中，，∴米，∴（米），∵米，∴距离烟囱东方远的一棵大树不会被歪倒的烟囱砸着.二、方向角在平面上，过观测点作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从点出发的视线与水平线或铅

3、垂线所夹的角，叫做观测的方向角.例如，图4中“北偏东”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西”.例2（内蒙古呼和浩特市）如图5，、是两座现代城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米.城在城的正东方向.以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物现要在、两城市间修建一条笔直的高速公路.（1）请你计算公路的长（结果保留根号）.（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁.分析：解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过作于，

4、就得到两个直角三角形.这样就把问题转化为直角三角形问题来解决.解：（1）过作于，在中，∵，∴，.在中，∵.∴.∴公路长（千米）.（2）∵（千米）（千米），∴此条公路不会对文物造成损毁.三、坡角如图6所示，坡面与水平面的夹角（用表示）叫做坡角；我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），常用字母表示，即，坡度一般写成的形式（比的前项为1，后项可以是小数）.注意：坡度不是一个角的度数，而是一个比值；坡度与坡角的关系是坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡.例3（2006年浙江绍兴）某校教学楼后面紧邻着一个土

5、坡，坡上面是一块平地，如图7所示，∥，斜坡长，坡角，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与地面的距离的长（精确到）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到点处，问至少是多少米（精确到）？（参考数据：，，，，，）分析：（1）在中，直接用三角函数求；（2）设法把放到直角三角形中，为此连结，过作，于是就把转移到的边上.解：（1）过点B作，为垂足.在中，∵，.∴（）.（2）过点F作，为垂足，连.则.在中，∵，又∵.

6、∴，即至少是.从以上各题可以看出，有关“角”的实际问题，通过建立数学模型，在图形中准确地识别是解题的关键.如果题目中没有图形，还要根据条件，准确地画出图形.当题目中有多个直角三角形时，还要根据条件找出关键的“角”与“边”之间的关系，再应用三角函数的定义或特殊角的三角函数值解题.