全国名校高中数学题库--矩阵

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1、较难:1.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量．(I)求矩阵的特征值、和特征向量；(II)求的值．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知：a、b、；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长

2、的最小值.答案：（1）解：（I）的特征多项式为令，得1，……………………………………………………2分当1时，得；当时，得……………………………4分(II)由得，得……………………………5分…………………………7分（2）解：（Ⅰ）化简为，∴直线l的直角坐标方程为；……………………………………………3分（Ⅱ）设点P的坐标为，得P到直线l的距离，………………………………………5分即，其中．当时，．…………………………………………7分（3）m解：（Ⅰ），ks5u，………………………4分（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，…………………

3、……7分解析：略2.附加题)已知矩阵，（1）计算AB；（2）若矩阵B把直线的方程。答案：2.已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．答案：矩阵的特征值为1=3，2=；=，=解析：矩阵的特征多项式为==……………………………2分令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=．………………4分当1=3时，由=3，得，∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量=；……………………7分当2=时，由=，得，取，则，得到属于特征值的一个特征向量=……………………10分3.已知矩阵，其中R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，－3），求矩阵A的特征值及特征向量．答

4、案：3，；-1，解析：由题意得:…………2分特征值3对应特征向量为…………5分特征值-1对应特征向量为…………7分4.二阶矩阵M对应的变换将点与分别变换成点与.(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵；(Ⅱ)设直线在变换M作用下得到了直线：，求直线的方程．答案：(Ⅰ)=；(Ⅱ).解析：(1)掌握矩阵的计算公式是关键。)设,=,=,所以解方程组即可。(2)因为且：2，所以，即,这就是直线的方程.解：(Ⅰ)设,则有=,=,所以,解得…………………………………………(4分)所以M=,从而=………………………………………………(7分)(Ⅱ)因为且：2，所以，即,这就是直线的方程

5、……………………(10分)5.将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．答案：解：由题意，得旋转变换矩阵，设上的任意点在变换矩阵M作用下为，∴，得将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为．6.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

6、答案：（1）选修4-2：矩阵与变换解：（1）解：（Ⅰ）由=，∴.-------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则矩阵的特征多项式为--------------------------5分令，得矩阵的特征值为与4.（5分）当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;---------------------------------6分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.------------------------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.-----------

7、-----1分----------------2分所以，该直线的直角坐标方程为：----------------3分（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------4分圆心到直线的距离---------------5分所以，圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分7.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞

8、0，b＞0）.（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1