例谈“不定方程整数解个数”模型应用

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1、例谈“不定方程整数解个数”模型应用浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良在排列组合中,我们利用挡板法可以得到方程x1+x2+x3+…+xk=n(n为正整数)的正整数解个数为;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现,的确此模型的应用较广泛、灵活,特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。下面选取几例典型的试题供参考。一.模型的直接应用例1.(2010全国联赛)方程x+y+z=2010满足x£y£z的正整数解(x,y,z)的个数是_______.解:首先易知x+y+z=2010的正整数解的个数为把x+y

2、+z=2010满足x£y£z的正整数解分为三类:(1)x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1;(2)x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;(3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k.易知1+3×1003+6k=2009×1004,6k=2009×1004-3×1003-1解得k=335671.从而满足x£y£z的正整数解的个数为1+1003+335671=336675例2.(04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定:在第关要抛掷一颗骰子次,如果这次抛掷所出现的点数之和大于,则算过关。问:(Ⅰ)某人在这项游戏中

3、最多能过几关?(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。)解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为6,而,因此,当时,n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为0。所以最多只能连过4关。(Ⅱ)设事件为“第n关过关失败”,则对立事件为“第n关过关成功”。第n关游戏中,基本事件总数为个。第1关:事件所含基本事件数为2(即出现点数为1和2这两种情况),过此关的

4、概率为:。第2关:事件所含基本事件数为方程当a分别取2,3,4时的正整数解组数之和。即有(个)。过此关的概率为:。第3关:事件所含基本事件为方程当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和。即有(个)。过此关的概率为:。故连过前三关的概率为:。二.模型的等价转化若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n(且x1≥1,x2≥2,…,xk≥k,)的正整数解的问题?换元法:令,则转化为y1+y2+y3+…+yk=n-(1+2+3+…+k-1),又转为求正整数解的个数问题.若研究方程x1+x2+x3+…+xk=n(n为正整数)非负整数解

5、个数问题,可令,则转化为y1+y2+y3+…+yk=n+k的正整数解的个数问题为(或).例3.(05全国联赛)若自然数a的各位数字之和为7,则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3…,若an=2005,则a5n=______。解:方程x1+x2+x3+…+xk=m的非负整数解的个数为,而使的整数解个数为,现取m=7,可知k位“吉祥数”的个数为P(k)=.2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”,且P(1)=,P(2)=,P(3)=,对于四位“吉祥数”,其个数为满足a+b+c=6的非负整数解的个数,即,20

6、05是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”,即a65=2005,5n=325.又P(4)=,P(5)=,而,从大到小最后六个五位“吉祥数”是:70000,61000,60100,60010,60001,52000.第325个“吉祥数”是52000,即a5n=52000.例4.(05浙江省预赛)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器,打算安排5个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有

7、多少种配备新式武器的方案?解:设20个岗位按先后排序为1,2,,…,20,且设第k种新式武器设置的序号为。令,,,,,,则有其中,。作代换,,从而有其中。设I为的正整数解的全体,为I中满足的解的全体。则上式成立的原因是,因为没有同时满足,,的的正整数组。所以.因为5种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,所以配备新式武器的方案数等于。三.活用挡扳法有时研究问题可能要考虑需要几块挡扳,我们可以把其转化为两个原理(加法原理与乘法原理)解决。例5.小明有10颗糖(不可辨),每天至少吃一颗,直至吃完,那么有多少种吃法?解:问题正面分类,

8、考虑分几天吃,问题转化为10个方程的正整数解的个数问题,答案为.转化考虑方式,即10颗糖排成一列,每两颗之间加一挡扳,则分为两天,不加挡扳即在一天吃完。因此问题转化为九个间隔位置上是否加挡扳。即吃法有N=29。

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