关于伴随矩阵性质的探讨

《关于伴随矩阵性质的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、哈尔滨商业大学毕业设计（论文）关于伴随矩阵性质的探讨学生姓名杨强指导教师于宪君专业数学与应用数学学院基础科学学院年月日GraduationProject(Thesis)HarbinUniversityofCommerceStudyontheProductionofHighMaltoseSyrupbyEnzymeStudentSupervisorSpecialtySchool201x-0x-xx毕业设计（论文）任务书姓名：学院：班级：专业：毕业设计（论文）题目：立题目的和意义：技术要求与工作计划：时间安排：指导教师要

2、求：（签字）年月日教研室主任意见：（签字）年月日院长意见：（签字）年月日毕业设计（论文）审阅评语一、指导教师评语：指导教师签字：年月日毕业设计（论文）审阅评语二、评阅人评语：评阅人签字：年月日毕业设计（论文）答辩评语三、答辩委员会评语：四、毕业设计（论文）成绩：专业答辩组负责人签字：年月日五、答辩委员会主任单位：（签章）答辩委员会主任职称：答辩委员会主任签字：年月日哈尔滨商业大学毕业设计（论文）摘　　要伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理

3、论和应用有自身的特点。本文首先回顾了伴随矩阵的定义和基本性质，继而介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质,数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质,研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性。还研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质，最后给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式，研究ｍ重伴随矩阵的相应的性质。。【关键词】：伴随矩阵性质I哈尔滨商业大学毕业设计（论文）AbstractI哈尔滨商业大学

4、毕业设计（论文）摘　　要IAbstractII1绪论12伴随矩阵的运算性质03矩阵与其伴随矩阵的关联性质24两伴随矩阵间的关系性质45伴随矩阵的特征值与特征向量的性质16矩阵A的m重伴随矩阵的性质27例题6参考文献10致谢哈尔滨商业大学毕业设计（论文）1绪论1.1伴随矩阵的基本概念1.1.1定义1设矩阵A=(Aij)n×n，将矩阵aij所在的第i行第j列元素划去后，剩余的(n-1)2各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式成为元素aij的余子式，记为Mij，称（-1）i+jMij为元素aij的代数余子

5、式。1.1.2定义2设Aij是矩阵中元素aij的代数余子式，矩阵为A的伴随矩阵。1.2伴随矩阵的基本性质1.2.1设A为n阶矩阵，则AA*=A*A=

6、A

7、E证明：由行列式按一列（行）展开的公式得出AA=AA==E,其中=。（1）该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最一般的用法。1.2.2n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的行列式不等于零，即。21哈尔滨商业大学毕业设计（论文）证明：由性质(1)知AA=AA=E，故A=A=E=该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用1.2

8、.3若A为非奇异矩阵，则。证明：因为，由性质2两边取逆可得故，另一方面，由性质21，由。该性质说明了A的逆的伴随矩阵和A的联系，1.1伴随矩阵秩的性质1.3.1设是阶矩阵，则证明：（1）当时，，由性质2，,所以。（2）当时，有。于是，由知的列向量都是方程组的解。由于，则齐次线性方程组的解向量组的秩为，知的列向量组的秩为1，即列秩为1，故。(3)当时，的每一个元素都是0，因为21哈尔滨商业大学毕业设计（论文）没有不为0的阶子式，故。1.3.2，特别，当时，。证明：当可逆，即时，由性质1得。所以，。当不可逆，即时，,所

9、以。因此1.3.3设阶矩阵的秩是，那么存在数使得证明：由定理2得，，于是必存在的一个列向量使得。因此，，这里。21哈尔滨商业大学毕业设计（论文）2伴随矩阵的运算性质2.1乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质2.1.1证明：由性质1.2.2注可知，,　　　　　　　知　证毕2.1.2设为阶方阵，为任意非零常数,则。证明：设，，证毕。2.1.3ｎ阶矩阵，则，证明过程同上过程2.1.4　　　证明：令，则。证毕。2.2转置矩阵的伴随矩阵的运算性质7哈尔滨商业大学毕业设计（论文）2.2.1。证明：设ｎ阶矩阵　　　　　　则　　　　　　　

10、　　　　　　　　其是中元素的代数余子式，由结果分析知　　　　　　　　。证毕7哈尔滨商业大学毕业设计（论文）3矩阵与其伴随矩阵的关联性质3.1矩阵与其伴随矩阵的关联性质3.1.1可逆的充分必要条件是可逆证明必要性由性质1知，。若可逆，则。所以。由可逆矩阵的定义可知可逆。充分性欲证命题成立，只需证其逆否命题成立。即需证若不可逆则也不可逆。即证若则。用反证法。假设