幂零矩阵迹的特征

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1、幂零矩阵迹的特征摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设是复数域上向量空间，是上的线性变换，且满足，那么的所有特征值均为0，并且和之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即，求证和有公共特征向量，并且求出和的公共特征向量.关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量FeaturesofNilpotentmatrixtraceYANWen(DepartmentofMathematicsandStatistics,Xiaoganuniversity,X

2、iaogan,Hubei,China)Abstract：2009NationalCollegeMathematicsCompetitionProblems(3thitem)：BasedvectorspaceVisthecomplexfield,arethelineartransformation,andsatisfies,Thenalltheeigenvaluesofare0,Betweenandtherearethesamefeaturevector(notnecessarilyequaltheco

3、rrespondingeigenvalue).Weconvertittomatrixanddiscussedinthespecialcircumstancesthat,Verify:andhavepublicfeaturevectors,andeigenvectorsobtainedthepublic.Keywords：Nilpotentmatrix;Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1　引言在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例1假设是复数域上维线性空间（

4、），是上的线性变换．如果，证明的所有特征值都是0，且有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例2设是有理数域上的向量空间，是上的线性变换，其中可对角化，且满足，证明存在正整数，使得是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）由于的所有特征值都是0是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换下不变，最后利用的迹为零的结果，间接导出的任意特征值为

5、0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明是幂零矩阵呢？另外，对例1中关于有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是命题1[1]　若是复数域上维线性空间上的线性变换，且，则和存在公共的特征向量．尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为命题2[2,3]　若都是复数域上的阶方阵，满足，则和存在公共的特征向量．对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向

6、量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].从以上诸例及相关结论上看，对线性变换而言，关于的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵的讨论.本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵或线性变换的性质；2、对满足或的线性变换，不仅证明之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2性质设为阶矩阵，令，则具有如下基本性质：性质1　.证明设、，则，.性质2对任何阶矩阵，.证明反证法假设，则由

7、性质1可知，显然矛盾，所以.命题得证.性质3设，是阶矩阵，令，且同，可交换，求证：存在整数使.证明因为同，可交换即，所以有,即与可交换.同理可证（）与可交换，（）与可交换.下证（）.同理可证：.下证的所有特征值为零.设的所有特征值为，所以的所有特征值为.下面证明都为零.由，可得：设的不为零的特征值分别为，且分别为重.则上式可写成：令，所以上式可写成.而由范德蒙行列式可知，又的特征值互不相等，所以，所以上式只有零解，所以的特征值全为零.若的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在使.命题得证.注：

8、对于中的线性变换，令，则有（为恒等变换）.[13]3可换矩阵的公共特征向量命题1若，且，则与一定存在公共的特征向量.证明因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间设，则，设为的一组基，则，于是有，.在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量.由于为的一组基，设（1）由，则，即得，.则有，，使得下步将寻找不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量.而由