便宜幂零矩阵

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1、幂零矩阵性质1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。证明：为幂零矩阵令为A任意一个特征值，则由引理7知，为的特征值从而有=0即有又有，知为A的特征值。由的任意性知，A的特征值为0。的特征值全为0的特征多项式为由引理2知，所以A为幂零矩阵。得证性质2：A为幂零矩阵的充要条件为。证明：为幂零矩阵，由性质1，知：A的特征值全为0即由引理7，知的特征值为从而有由已知，(1.1)令为A的不为0的特征值且互不相同重数为由（1.1）式及引理7，得方程组(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为又互不相

2、同且不为0，从而知，方程（1.2）只有0解，即即A没有非零的特征值的特征值全为0，由性质1，得A为幂零矩阵得证性质3：若A为幂零矩阵则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A为幂零矩阵，由性质1，知A的特征值全为0由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得其中阶数为由引理4，知为J和特征值又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值所以即J的主对角线上的元素全为0由引理8，知为幂零矩阵得证性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有证明：为幂零矩阵，A一定不可逆

3、由性质1，得A的特征值为由引理7，得的特征值分别为且有即得证性质5：若为幂零矩阵，则A非退化证明：令为A的特征值若A退化，则有由引理7，得至少存在=0为A的特征值又由引理7，得为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾得证A为非退化性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵。即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵证明：为幂零矩阵又也为幂零矩阵得证性质7：若A为幂零矩阵且，则（1）（2）证明：即任意，有即有性质8：若A为幂零矩阵且，则A不可对角化但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化

4、证明：为幂零矩阵且A的特征值全为零为A的特征多项式且令为A的最小多项式，则有从而有由于，又此时即A的最小多项式有重根，由引理5，知A不可对角化为阶方阵由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T，使得其中阶数为令阶数为则有阶数为由引理8，知即为幂零矩阵现令即又D为对角阵，由（1）式知可对角化令N=且取则有即有可对角化且N为幂零矩阵得证性质9：阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令A为阶幂零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T使得其中阶数为且取，则且有即若令为A

5、的幂零指数，则若，则且由（1.5）式，得这与矛盾。得证性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形证明：令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0若B与A相似由引理6，得A与B有相同的特征值的特征值也全为0，由性质1，知B也为幂零矩阵A为幂零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T使得其中阶数为且由性质9，知为A的幂零指数又A与B相似，A与J相似从而有B也与J相似可逆矩阵P使得又由性质9，知为B的幂零指数从而有又为严格上三角也为严格上三角形即A，B都相似于严格上三角形J得证性质11：

6、若A为幂零矩阵，则都为幂零矩阵，特别有证明：为幂零矩阵由引理1，知都为幂零矩阵也为幂零矩阵又为幂零矩阵即若，则有A的所有阶代数余子式都为0则有从而有若，则由性质3知，存在可逆矩阵T，使得其中阶数为且又显然A与J，所以有即有(1.3)又由（1.3）式及引理1，知得证1、A为实对称矩阵且，则有证明：令，则由A实对称且又为实数即2、所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似证明：令A为阶次幂零矩阵即的最小多项式又A幂零矩阵的特征值全为0的特征多项式为由引理9，知又从而有所以所有的阶次幂零矩阵的不变因子

7、都是所以所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似3、所有阶次幂零矩阵相似（为幂零指数）证明：令A为阶次幂零矩阵，则的最小多项式又A幂零矩阵的特征值全为0的特征多项式为又又从而有所以所有阶次幂零矩阵具有相同不变因子所以所有阶次幂零矩阵都相似1、设阶方阵，求证：（1）存在，使得（2）存在，而且，证明：（1）、由引理3，知在复数域上，可逆矩阵T使得(1.4)其中阶数为令为的若当块为的若当块由于由引理8，得且即可逆有由（1.4）式，知A与J相似，且从而，得与相似，综上可得，且即得证（2）、由（1）知，使

8、得又已知得证特别当时，可得2、A，B为阶方阵，B为幂零矩阵且，则有证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得又B为幂零矩阵所以B的特征值全为0，即又可逆由知为A的特征值由引理7，得从而得证3、A为阶方阵，求证，B可对角化，C为幂零矩阵且证明：由性质3，知存在幂零矩阵N，使得可对角化即存在可逆T，使得即有由性质11，知N幂零矩阵则也幂零矩阵又与D相似，可对角化令，则有可对角化为幂零矩阵又为对角阵得证4、A，B，C为阶方阵，且，证明：存在自然数证明：由于，由引理11，得由性质2，得C为幂零矩