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1、--学年论文〔本科〕论文题目幂级数及其应用-word.zl--目录摘要………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………1前言………………………………………………………………………11.幂级数的定义……………………………………………………………22.幂级数的收敛区间和收敛半径…………………………………………23.幂级数的运算……………………………………………………………
2、43.1幂级数在求导数中的应用………………………………………………43.2幂级数在求极限中的应用………………………………………………53.3幂级数在计算级数和中的应用…………………………………………53.4幂级数在求微分方程中的应用…………………………………………6总结…………………………………………………………………………7参考文献……………………………………………………………………7-word.zl--幂级数及其应用摘要：本文主要介绍了幂级数的定义、收敛区间、运算及其应用。关键词：幂级数；收敛区间；应用PowerseriesanditsapplicationAbstr
3、act：Thispapermainlyintroducesthedefinition,convergenceinterval,operationandapplicationofthepowerseries.Keywords：powerseries；convergenceinterval；application前言在数学分析中,-word.zl--数项级数是全部级数理论的根底，主要包括正项级数和交织级数，而正项级数在各种数项级数中是最根本的，同时也是十分重要的一类级数。级数是高等数学体系的重要组成局部，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和开展起来的。中国晋时期的数学家徽
4、早在公元263年创立了“割圆术〞，其要旨是用圆接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术〞就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先开展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开场讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法那么，使级数理论全面开展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题
5、进展了深入的研究。而今，级数的理论已经开展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进展数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。1.幂级数的定义在引进幂级数定义之前,先介绍一下函数项级数的概念.设是定义在数集E上的一个函数列,表达式称为定义在E上的函数项级数,简记为或.定义由幂函数序列所产生的函数项级数(1)称为幂级数，是一类最简单的函数项级数.从某种意义上,它可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用,特别是在应用它表示函数方面.下面将着重讨论,即(2)的情形,只要把〔2〕中
6、的换成,就得到〔1〕.2.幂级数的收敛区间和收敛半径定理2.1〔阿贝尔定理〕假设幂级数〔2〕在,那么处收敛,-word.zl--那么对满足不等式的任何,幂级数〔2〕收敛,而且绝对收敛;假设幂级数〔2〕在处发散,那么对满足不等式的任何,幂级数〔2〕发散.证：设级数收敛,从而数列收敛于零且有界,即存在某整数M，使得另一方面对任意一个满足不等式的,设，那么有.由于级数收敛,故幂级数〔2〕当时绝对收敛.现在证明定理的第二局部.设幂级数〔2〕在处发散,如果存在某一个,满足不等式,使级数收敛.那么知道级数〔2〕在处绝对收敛,与假设矛盾,故一切不满足不等式的,幂级数〔2〕都发散.由此定
7、理知道:幂级数〔2〕的收敛域是以原点为中心的区间.假设以2R表示区间长度，那么称R为幂级数的收敛半径.也是使得幂级数〔2〕收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以当R=0时,幂级数〔2〕仅在处收敛；当时,幂级数〔2〕在上收敛；当时,幂级数〔2〕在上收敛;对一切满足不等式的，幂级数〔2〕都发散,在处,幂级数〔2〕可能熟练也可能发散.我们称为幂级数〔2〕的收敛区间.-word.zl--定理2.2对于幂级数〔2〕,假设，那么当(i)时,幂级数〔2〕的收敛半径;(ii)时,幂级数〔2〕的收敛半径；(iii)时,幂级数〔2〕的收敛半径R=
