微专题 外接球

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1、微专题：多面体的外接球一、内容回顾1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球.2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球．3.多面体的外接球的性质：性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径．性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心与球心的连线垂直于这个面．性质3.外接圆圆心到球心的距离、圆的半径与球半径的关系：．二、典型例题：题型一可构造成长方体（正方体）(1)墙角模型1.（2019年山东省省实验

2、中学联考）若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（　　）A．34πB．32πC．17πD．172π解：由三视图知几何体是高为5，底面为边长为3，4，5的直角三角形的直三棱柱截去三棱锥得到的.如图所示：截去是三棱锥如图：是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，所以三棱锥补成长方体外接球相同，外接球的半径为：1232+32+42=1234．外接球的表面积为：4π×(1234)2=34π．故选：A．(2)鳖臑型即四个面全是直角三角形2.（2019南昌期

3、中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知在鳖臑M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝4，则该鳖臑的外接球的体积为　　．20解：M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝4，∴三角形的边AC＝，从而可得，∴外接圆的半径为．∴该鳖臑的外接球的体积为．故答案为：．(3)等腰四面体型即对棱相等3.（2018永州期末）在四面体S﹣ABC中，若SA=CB=5，SB=AC=10，SC=AB=13，则这个四面体的外接球的表面积为　14π　．解：∵三棱锥S﹣ABC

4、中，SA=CB=5，SB=AC=10，SC=AB=13，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为13，10，5，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2＝13，y2+z2＝10，x2+z2＝5，∴x2+y2+z2＝14∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为14，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为4π⋅(142)2=14π．故答案为14π．（4）阳马型的四棱锥4.（2018瓦房店市一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺

5、，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径（尺），∴这个四棱锥的外接

6、球的表面积为（平方尺）．故选：B．类型二：特殊三棱锥的外接球1.正棱锥的外接球205.（2016•潮州二模）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（　　）A．B．C．D．解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO＝AO＝OC＝OD＝OB＝r．则AB＝r，四棱锥的体积为，解得r＝，四棱锥的外接球的体积为：故选：B．2.三条侧棱相等型6.（2018合肥期末）已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB

7、＝2，P是平面ABC外的一点，且满足PA＝PB＝PC，∠APB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　　　　．解：法一：如图，取AB的中点E,连接PE,因为三角形ABC是等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，所以平面,三棱锥的外接球球心必在上，又，所以设外接球半径为球心为，连接则根据勾股定理可得，即解得所以外接球的表面积为20法二：取AB的中点E,连接PE,因为三角形ABC是等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，所以平面,三棱锥的外接球球心必在上，所以三棱锥外接球心即为的外接圆圆心，外接圆球的半径为即的外接圆半

8、径，在中，由正弦定理可得，从而有，所以外接球的表面积为(3)三棱锥中一条侧棱和底面垂直7.（2019年福建省龙岩市模拟）已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥底面ABC，且△ABC是边长为的正三角形，PA＝2，则该三棱锥的外接球表面积是（　　）A．4πB．6πC．8πD．9π解：取AD中心D，连结DA、DC，过D作DO⊥平面ABC，则球心O在DO上，过球心O作OE⊥PA，交PA于E，则球半径R＝