哈密尔顿

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1、哈密尔顿—凯莱定理：Ａ是n阶方阵，ＦA（ｘ）是Ａ的特征多项式，则ＦA（Ａ）=０。扰动方法的证明：１）如果Ａ对角矩阵，直接验证。２）如果Ａ是特征值互相不同的复矩阵，利用相似变换，归结为１）。３）对于一般复矩阵Ａ，考虑另一个矩阵Ｂ，使得Ａ＋ｋＢ的特征值互相不同，利用２），有Ａ＋ｋＢ的特征多项式在矩阵Ａ＋ｋＢ的值是０。令　ｋ　趋于０　即可。注１：Ａ＋ｋＢ的特征多项式各个系数都是复数变量ｋ的多项式。当然关于ｋ连续，可以取极限，极限是Ａ的特征多项式。注２：关于Ｂ的存在性，可以利用：每一个复方阵相似于一个上三角矩阵，对角元是所有特征值。这个事实来构造Ｂ。比如可以选Ｂ也是上

2、三角矩阵，而且在Ａ的相同对角元的位置处令Ｂ的元素互相不同就可以使得Ａ＋ｋＢ的特征值互相不同了。二。哈密顿－凯莱定理的应用应用主要有这几个方面1.计算矩阵多项式的值；2.计算方阵的高次幂；3.计算矩阵的逆；4.求矩阵的最小多项式；5.证明有关矩阵多项式为0的问题。具体见附件：..高等代数专题学习资料---凯莱-哈密顿定理的应用