解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

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1、第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程中消去，得到：即：此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：而在准线上，所以上式中消去后得到：此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量任取准线上一点，过的母线方程为：而在准线上，所以：消去，得到：此即为所求的方程。3、求过三条平行直线的圆柱面方程。解：过原点且垂直

2、于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为的直线方程为：将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中的为参数。证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则，即亦即，此即为柱面的矢量式参数方程。又若将上述方程用分量表达，即：此即为柱面的坐标式参数方程。§4.2锥面1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。解

3、：设为锥面上任一点，过与的直线为：设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：即：此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：令它与准线交于，即存在，使将它们代入准线方程，并消去得：此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴与等角，故的方向数为与垂直的平面之一令为平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：它即为要求圆锥面

4、的准线。对锥面上任一点，过与顶点的母线为：令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：过点且垂直于轴的平面为：即：该平面与轴的交点为，它与的距离为：要求圆锥面的准线为：对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为：令它与准线的交点为，即存在，使将它们代入准线方程，并消去得：6、已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中，为参数。证明：对锥面上任一点，令，它

5、与顶点的连线交准线于，即。，且（顶点不在准线上）即亦即此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即：此为锥面的坐标式参数方程，为参数。§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；绕旋转（2）；绕旋转（3）绕轴旋转；（4）空间曲线绕轴旋转。解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：又在母线上。从（1）——（3）消去，得到：此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点，过的纬圆为：因在母线上，(3)从（1）——（3）消去，得到：此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：又在母线

6、上，所以：（3）从（1）——（3）消去，得到：此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点，过的纬圆为：又在母线上，所以从（1）——（3）消去，得到：即旋转面的方程为：2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点，过的纬圆为：又（3）从（1）——（3）消去，得到：此即为所求旋转面的方程。当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）；当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）；当时，旋转面变为轴；当时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴

7、旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设为上任一点，则对经过的纬圆上任一点，令在面上的射影为令，则，而而此即为旋转面的矢量式参数方程，为参数。其坐标式参数方程为：§4.4椭球面1、做出平面与椭球面的交线的图形。解：平面与椭球面的交线为：，即——椭图形为2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点，要求的轨迹为，则即：此即为的方程。3、由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为该点在曲面

8、上即4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：证明：利用上题结果，有其中是的方向余弦。若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，，所以，即：5、一直线分别交坐标面于三点，当直线变动时，直线上的三定点也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点，它与三点的距离分别为，当直线按照这样的规定（即保持分别在三坐标面上）变动，试求点的