第五章定积分

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1、精品word可编辑资料-------------第五章定积分一、教学目标与基本要求1、懂得定积分的概念和基本性质，使同学牢固把握定积分概念，懂得定积分是一种和式极限，对定积分解决问题的思想有初步体会；2、懂得变上限定积分定义的函数及其求导定理，把握牛顿-莱布尼茨公式；通过学习，使同学更深化懂得定积分和不定积分，微分和积分间的联系；3、把握定积分的换元法与分部积分法4、明白广义积分的概念并会运算广义积分；5、明白定积分的近似运算法；6、懂得定积分的来源，几何及物理意义，为以后学习其他专业课程打下基础把握用定积分表达和运算一些几何量与物理

2、量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、教学内容的重点及难点：1、重点：定积分的概念和性质；微积分基本定理，积分的换元积分法；广义积分；2、难点：定积分概念的规章；定积分的换元积分法和分步积分法的运用三、教学内容的深化和拓宽：1、无穷限反常积分的审敛法2、无界函数的反常积分的审敛法3、Γ函数§5.1定积分概念一、内容要点1、定积分问题举例（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、定积分定义3、定积分慨念的意义定积分慨念具有广泛的直观背景，在

3、各种科技领域中有大量实际问题，都可归结为教学上的定积分问题，这些问题再应用中有详细争辩；4、定积分的存在定理连续或在区间上只有有限个第一类间断点，就定积分存在；5、定积分的性质（1）线性性（2）可加性（3）单调性（4）估值性（5）定积分中值定理二、教学要求与留意点教学要求：正确懂得定积分的概念极其简洁性质；留意点：第-35–页第1页，共18页----------精品word可编辑资料-------------bba(1)f〔x〕dxf〔t〕dt〔2〕f〔x〕dx0aaaba(3)f〔x〕dxf〔x〕dxab(4)定积分的几何意义（5

4、）用定义运算一、定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f〔x〕在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入如干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：nf〔i〕i1xi.......〔1〕假如无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要n0有f〔i〕xii1I（I为一个确定的常数），就称极限I是f〔x〕在[a,b]上的定积分，简称积分

5、，记做bf〔x〕dx即I=abf〔x〕dx其a中f〔x〕为被积函数，f〔x〕dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间；注1．定积分仍可以用语言定义2.由此定义，以上二例的结果可以表示为A=bf〔x〕dx和S=aT2v〔t〕dtT1第-36–页第2页，共18页----------精品word可编辑资料-------------2.有定义知道bf〔x〕dx表示一个详细的书，与函数f〔x〕以及区间a[a,b]有关，而与积分变量x无关，即bf〔x〕dx=abf〔u〕du=abf〔t〕

6、dta3.定义中的0不能用n代替4.假如nLimf〔i〕0i1xi存在，就它就是f〔x〕在[a,b]上的定积分，那么f〔x〕必需在[a,b]上中意什么条件f〔x〕在[a,b]上才可积分呢？经典反例：f〔x〕1,x为[0，1]中的有理点0，x为[0，1]中的无理点在[0，1]上不行积；可见函数f〔x〕在什么情形下可积分并不是一件简洁的事情；以下给出两个充分条件；定理1设f〔x〕在区间[a,b]上连续，就f〔x〕在[a,b]上可积；定理2设f〔x〕在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，就f〔x〕在[a,b]上可积；定理3设

7、f〔x〕在区间[a,b]上单调，就f〔x〕在[a,b]上可积；6几何意义当f〔x〕0时，bf〔x〕dx表示曲边梯形的面积；当f〔x〕0时，abf〔x〕dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，如f〔x〕在[a,b]上有a正有负，就bf〔x〕dx表示曲边梯形面积的代数和；a1[例1]运算exdx0第-37–页第3页，共18页----------精品word可编辑资料-------------解：明显f〔x〕在[a,b]上连续，就f〔x〕在[a,b]上可积，现将[0，1]i分成n个等分，分点为xi,i0,1,2,.....n，xin1

8、/n，1/n取ixi作和式：11nLim0f〔i〕xiLim0ni1enninLim1en0nLim01en[〔en〕n1]n1e1i1i1i1en11所以：exdx0=e-17．依据定义5．2定积分的