地震波动方程

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1、.-第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。3.1运动方程（EquationofMotion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（）用于连续介质。3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，所以其两边的作用力

2、差为惯量﹙inertia﹚为所以得出..word.zl-.-……………………………………………………...（3-1）其中ρ为密度﹙density﹚，σ为应力﹙stress﹚=。3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stressgradient﹚而得到加速度。如果ρ与E为常数，则3-1式可写为……………………………………………………（3-2）其中运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为设则可得：考虑欧拉公式：（3-3）其中A,B,C,D为根据初始条件和边界条件确定的常数。考虑到可正可负，方程式的解具有的形式，其中f及g为波的函数，以c的波行速度向+x与-x

3、方向传递。我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿方向传播，剪切波的齐次微分方程可表达为：这里是位移。对100公里的波长和假定..word.zl-.-的情况，我们写出用有限差分法解这方程的计算机程序。用长度间距，时间间距秒。假定在（50公里）震源时间函数的形式为：0＜＜5秒用（0公里）的应力自由边界条件和（100公里）的固定边界条件。用有限差分图解来近似二次导数：以4秒的间隔画出1-33秒的图。M=moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4;%初始化变量,tlen为震源持续时间，beta为波传播的速度u1=zeros(101,1);u2=

4、u1;u3=u1;%u1为前一个时刻的各点的位移，u2为当前时刻的位移，u3为下一个时刻的位移值，开始均假定为零t=0;jj=0;while(t<=33)%模拟的最长时间为33秒forii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1))/dx^2;%方程的解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%对时间求导数end%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件u3(1)=u3(2);%左边为自由边界条件..word.zl-.-u3(101)=0.0;%右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件%u3(1)=u3(2);%左边为自

5、由边界条件%u3(101)=u3(100);%右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件%u3(1)=0.0;%左边为固定边界条件%u3(101)=0.0;%右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen)).^2;%地震震源时间函数endforii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii);%时刻的更新endplot(u2);%绘制目前的波形图ylim([-1.21.2]);M(:,jj+1)=getframe;%获得当前的图像t=t+dt;%时间延长endmovie(M)%演示波形传播3.1.2三维空间之振动方程式推导三维空间

6、之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图3-2所表示，先探讨在x方向之位移量u：..word.zl-.-Fig3-2在y-z面上的作用力差为：在x-z面上的作用力差为：在x-y面上的作用力差为：惯量为：得出…………………………………..﹙3-4﹚其中σxx、σyx及σzx分別为stresstensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚，yx﹙y面方向、x力方向﹚及zx﹙z面方向、x力方向﹚方向的分量。注意，在本讲义中有关stresstensor的两个下标﹙indexes﹚之定义，依序为面的方向与力的方向。将σxx、σyx及σzx与其对应的应变之关系代入3-4式可推导得出三维

7、空间之振动方程式如下：..word.zl-.-………………………………….﹙3-5a﹚其中λ及μ为常数，而为Laplacianoperator，代表。以相同的方法，可以得出在y及z方向的振动方程式，若其位移量分別为v与w，则其相对应之振动方程式可分別表示如下：………..…………………………﹙3-5b﹚………………………………….﹙3-5c﹚若以向量形式来统一表示3-5a、b、c式，可改写如下：…………………………...﹙