小学奥数-几何五大模型蝴蝶模型

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1、.-任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型〔任意四边形模型〕任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理〞)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个局部，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平

2、方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积，求：⑴三角形的面积；⑵？-.word.zl.-【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．(？？？)【例1】四边形的对角线与交于点(如以下图)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。【解析】在此题中，四边形为任意四边形，对于这种〞不良四边形〞，无外乎两种处理方法：⑴利用条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改

3、造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个〞不良四边形〞，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高一样，那么面积之比等于底边之比，得出结果。请教师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【例2】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6。

4、求：⑴求的面积；⑵求的面积。-.word.zl.-【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【解析】在，中有，所以，的面积比为。同理有，的面积比为。所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个局部，有：上、下局部的面积之积等于左右局部的面

5、积之积。即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷。显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例2】(2021年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为。【解析】连接、、。那么可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：．-.word.zl.-所以，所以．【稳固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。【解析】因为，且∥，所以，，．【例1】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积．【解析】连接．因为，，所以．因为，根据蝴蝶定理，，所以．所以，即三角形的面

6、积是．【例2】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以-.word.zl.-平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【例1】如图，正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．【解析】设与的交点为，连接、．由蝴蝶定理可知，而，，所以，故．由于为中点，所以，故，．由蝴蝶定理可知，所以，那么〔平方厘米〕．【例2】如图，在中，、分别在边、上，与相交于,假设、和的面积分别是3、2、1，那么的面积是．【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴

7、蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得设，根据共边定理我们可以得，，解得．-.word.zl.-【例1】(2021年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2021平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【解析】如图，设与的交点为，那么图中空白局部由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白局部面积，进而求出阴影局部面积．连接、、．设的面积为〞“，那么面积为〞“，面积为〞“，那么面积为的倍，为〞“，梯形的面积为，的面积为〞“，的面积为．根据蝴蝶定理，，故，，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那

8、么空白局部的面积为正六边形面积的，所以阴影局部面积为(平方厘米)．板块二梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理〞)：①②；③的对应份数为．-.word.zl.-梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上