全同粒子体系习题解

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1、.-第六章全同粒子体系习题解1．求在自旋态中，和的不确定关系：解：在表象中、、的矩阵表示分别为∴在态中讨论：由、的对易关系[，]要求①在态中，∴-.word.zl.-可见①式符合上式的要求。2．求的本征值和所属的本征函数。解：的久期方程为∴的本征值为。设对应于本征值的本征函数为由本征方程，得由归一化条件，得即∴对应于本征值的本征函数为设对应于本征值的本征函数为由本征方程由归一化条件，得即∴-.word.zl.-对应于本征值的本征函数为同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为3．求自旋角动量方向的

2、投影本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在表象，的矩阵元为其相应的久期方程为即-.word.zl.-所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，那么由归一化条件，得-.word.zl.-可见，的可能值为相应的几率为同理可求得对应于的本征函数为在此态中，的可能值为相应的几率为讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿方向〔这相当于作一个坐标旋转〕，那么的本征值也应为。另外我们知道，本征值和表象的先取

3、无关。这样选择并不影响结果的普遍性。同理的本征值也都是。-.word.zl.-我们也可以在为对角矩阵的表象中〔表象〕求本征矢。显然这时的知阵为所以本征矢为注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。4．在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。〔解〕方法类似前题，设算符的本征矢是：(1)它的本征值是。又将题给的算符展开：(2)写出本征方程式：(3)根据问题〔6〕的结论，,对的共同本征矢，，运算法那么是，，，，，〔4〕将这些代入〔3〕，集项后

4、，对此两边，的系数：〔5〕或〔6〕〔6〕具有非平凡解〔平凡解，〕条件是久期方程式为零，即-.word.zl.-它的解〔7〕时，代入〔6〕得：〔8〕（1）的归一化条件是：将〔8〕代入〔9〕，得：归一化本征函数是：〔10〕时，的关系是：归一化本征函数是：〔11〕是任意的相位因子。此题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：，，〔12〕(13)本征方程式是：-.word.zl.-(14)的本征矢是：,(15)补白：本征矢包含一个不定的相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多样的，但〔15〕这种表示法是有普遍

5、意义的。5.假设为泡利矩阵，证明：，并求：〔1〕在表象中的归一化本征函数；〔2〕在表象中的归一化本征函数；证：由对易关系及反对易关系，得上式两边乘，得∵∴〔1〕在表象中，的矩阵是因此的本征值是±1，而本征矢为都已归一化。在表象中；设其本征值为l，本征矢为容易求得相应的归一化本征函数为同理，在表象中，，设其本征值为，本征矢为，那么-.word.zl.-可求得：相应归一化本征函数为〔2〕求在表象中。算符，的矩阵形式：在表象中，算符，的矩阵形式为对坐标轴作一旋转，把原来的z轴换成x轴，x轴换成y轴，y轴换

6、成z轴。根据轮换关系，容易得出在表象中，算符，的矩阵形式为：在表象中的本征值和本征矢：设本征值是，那么就有具有非零解的条件是当时：归一化后得：进展归一化得在的本征值和本征矢：设的本征值为，那么具有非零解的条件是-.word.zl.-当时，，归一化后得当时，，归一化后得讨论：①大家知道，在表象中，和的本征值都是±1，现在又证明了，在表象中，算符，和的本征值仍然是±1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。②在求表象中，，的矩阵表示时，我们是利用x，y，z方向本来是任意选择的，可以经过

7、轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第5题的方法，通过表象变换的方法来求出和在表象中的矩阵表示，结果是完全一致的。③由于泡利矩阵，，的本征值是±1，而，因此容易推得，自旋算符和的本征值是，它们也不随表象变换和改变。6．设矩阵满足，(1)求证(2)在表象中，求出，得矩阵〔设无简并〕。【解】将式左乘，利用，得同式右乘，利用，得相加得，同样，将左乘、右乘前述一式，可得在用表象时，的本征矢是基矢，它满足本征方程式：(1)但是本征值，从复用运算于〔1〕得：-.word.zl.-但，所以；假定没有简并态，仅有

8、两个本征值，在自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1〔2〕设的矩阵，将它代入等式简化为，得因此是反对角矩阵：〔3〕代入条件，有：得即得到含有一个待定常数的矩阵关于另一矩阵也有类似的计算，由于满足和，因此的矩阵〔含有一个未定常数的〕写作：〔5〕待定常数和之间尚需满足题给的约束条件，将它列成矩阵：-.word.zl.-即,或解出用的项表示：或7．满足以下条件的维矩阵,称为矩阵试求的一般表示式。【解】设:那么代入题给的第一个条件化成等效的条件同理，代入第二个条件