切比雪夫不等式证明(精选多篇)

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1、切比雪夫不等式证明(精选多篇)切比雪夫不等式证明(精选多篇)切比雪夫不等式证明(精选多篇)切比雪夫不等式证明(精选多篇)第一篇：切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==n

2、pex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{}100{975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{

3、x-ex

4、>=ε}=1-dx/ε切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{

5、x-ex

6、>=ε}越小，p{

7、x-ex

8、同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{

9、x-ex

10、>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差

11、dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均

12、相差k个标准差的值，数目不多于1/k举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。设(x,σ,μ)为一测度空间，f为定义在x上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0，一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有上面的陈述，可透过以

13、f

14、取代f，再取如下定义而得：概率论说法设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，改进一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例

15、子：这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式：证明定义，设为集的指标函数，有又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a有pr(

16、y

17、leopeatorname{e}(

18、y

19、)/a。取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。亦可从概率论的原理和定义开始证明。第二篇：切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立2?2p?x?e(x)????2?证明：设x是离散型随机变量，则事件x?e(x)??表示随机变量x取得一

20、切满足不等式xi?e(x)??的可能值xi。设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得p?x?e(x)????xi?e(x)???pi这里和式是对一切满足不等式xi?e(x)??的xi求和。由于xi?e(x)??，即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。2?xi?e(x)?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以?2，则和式的值将增大。于是得到p?x?e(x)????xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi因为

21、和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此p?x?e(x)????1?2??x?e(x)?ii2pi上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，?2p?x?e(x)????2?第三篇：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式mathwang几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设a1,a2,?an?0是实数a?a???a12n???111n?+??a1a2an其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2??

22、?an时，等号成立.n（2）柯西不等式设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数，则?a2122?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?2当且仅当bi?0(i?1,2,?,n)或存在实数k，使得ai