拉格朗日插值

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1、2插值法能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题这就是插值问题,上式为插值条件,其插值函数的图象如图整体误差的大小反映了插值函数的好坏插值法/*Interpolation*/当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数P(x)f(x)，满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的P(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xP(x)f(x)代数插值多项式的存在唯一性为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有

2、理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式定理满足次数不超过n的插值多项式是唯一存在的。注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。虽然线性方程组推出的插值多项式存在且唯一，但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法。2.2拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两

3、点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/ThemathematicianS.hadtomovetoanewplace.Hiswifedidn'ttrusthimverymuch,sowhentheystooddownonthestreetwithalltheirthings,sheaskedhimtowatchtheirtentrunks,wh

4、ileshegotataxi.Someminuteslatershereturned.Saidthehusband:"Ithoughtyousaidthereweretentrunks,butI'veonlycountedtonine!"Thewifesaid:"No,they'reTEN!""ButIhavecountedthem:0,1,2,..."n1希望找到lk(x)，k=0,…,n使得lk(xj)=kj；然后令==nkkknyx

5、lxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。n+1次多项式与节点有关，而与f无关且(请同学们思考)从而其中例:解:且在上例中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值令设其中根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于因此所以定理：Lagrange型余项设则注：通常不能确定,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。Quiz:

6、给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？y0---10.5-