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1、第八讲差分模型的建立基础教研部：夏冰哈尔滨金融学院《数学建模》差分模型的建立一、生活中的差分方程二、经济中的差分方程《数学建模》哈尔滨金融学院一、生活中的差分方程银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…《数学建模》哈尔滨金融学院家庭教育基金为了保障子女将来的教育费用，小
2、张夫妇从儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为教育基金.若银行年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为30000元，按年利率10%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…《数学建模》哈尔滨金融学院抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元.他们已经筹集4万元，另外6万元申请抵押贷款.若贷款月利率为1%，还贷期限为25年，问小李夫
3、妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=60000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…《数学建模》哈尔滨金融学院分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元.同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商场分期付款？分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第
4、n个月后的欠款额为an，则a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…贷款模型为：a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…《数学建模》哈尔滨金融学院一阶线性差分方程在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式.将它们写成统一的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,…称此类递推关系为一阶线性差分方程.当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.定义1对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下：a1=a2-a1,a
5、2=a3-a2,…an=an+1-an,…定义2对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二阶差分,记为2A=(A).即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般地，可以定义n阶差分.《数学建模》哈尔滨金融学院二、经济中的差分方程问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采
