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时间：2021-11-22
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1、第四章数值积分与数值微分§1引言一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数☞有解析表达式；☞的原函数为初等函数．实际问题1.的原函数不能用初等函数表示考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.从到英寸间的弧长L.这个问题就是要求由函数给定的曲线,由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为
2、:上述积分称为第二类椭圆积分。What’stheOriginalfunction?!It’ssocomplexthatwecannotgetit.类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:3.没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义2、
3、数值积分的理论依据依据积分中值定理,对于连续函数,在内存在一点,使得称为在区间上的平均高度.3、求积公式的构造若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取两点，并令，则可得梯形公式（两点求积公式）则可得Simpson公式(三点求积公式)若取三点，并令一般地，取区间内个点处的高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积:或写成:数值积分公式求积系数求积节点记称为数值求积公式称为求积公式余项(误差)
4、.（1）（2）构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:(i)确定求积系数和求积节点(iii)求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii)确定衡量求积公式好坏的标准；称求积公式具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:定义：(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得三、求积公式的代数精度上述定义中的条件(i),(ii)等价于:注：梯形公式与中矩形公式都只具有1次代数精度。一般的，若要使求积公式（1）具有m次代数精度，则只要使求积公式对f(x)=1，x，x2，…,xm都准确成立，即§2插值型求积公式一、定
5、义在积分区间上，取个节点作的次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项。于是有：取Ak由节点决定，与无关。称为插值型求积公式二、截断误差与代数精度1、截断误差2、
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